高等数学第三章第1节中值定理.ppt

CH1_ 第一节 中值定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二 拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 第一节 中值定理 第三章 中值定理与导数的应用 物理引入 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 几何引入 罗尔（Rolle）定理 那末在 内至少有一点 使得函数 在该点的导数等于零，即 设函数 满足条件： 在闭区间 上连续; (1) 内可导; 在开区间 (2) (3) 在区间端点的函数值相等，即 证 推论 设函数 可导， 且 在区间 在点 处取到函数的最大（或最小）值， 则必有 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立. 例如, 又例如, 例1 设 证明方程 至少有一个小于1的正根。 证 令 由于 在 上连续，在 上可导， 且 则由罗尔定理可得, 在 至少存在一点 使得 即 所以方程 有一个小于1的正根. 例2 设 在区间 上连续， 在区间 上 可导， 且 证明： 在区间 上至少存在一点 使得 证 令 则 由于 在区间 上连续, 且 在区间 上可导, 且 由罗尔定理知 在区间 至少存在一点 使得 即 由连续函数的零点定理得, 在区间 至少存在一点 使得 又由于 在区间 上连续, 例3 设函数 在区间 一阶导数连续, 在 二阶可导, 且 证明: 在区 间 上至少存在一点 使得 证 由于 在 处可导, 从而连续, 所以 且 且 由于 在区间 可导, 所 以由罗尔定理得, 在区间 上至少存在一点 使得 又因为 在 连续，在 可导, 且 所以由罗尔中值定理得, 在区间 上至少存在一点 使得 且 例4 证 由零点定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 使等式 成立. 内至少有一点 那末在 拉格朗日(Lagrange）中 值定理 如果函数 下列条件: 满足 (1) 在闭区间 上连 续; (2) 在开区间 内可 导. 作辅助函数 证 由于 在 上连续, 则由罗尔定理知, 即 上可导, 在 足 且满 拉格朗日中值公式 或 说明 (1) 如果在定理中再加上条件 由拉格 朗日公式即可得, 因此罗尔定理是拉格朗日 的特例. (2) 拉格朗日公式对 也成立。 (3) 在拉格朗日公式中，令 则 拉格朗日公式可写为， 其中 介于 之间. 记 则 上式又可写成 有限增量公式 地表达了函数在一个区间 因此拉格朗日公式精确 某点处的导数之间的关系. 推论 上的增量与函数在这区间内 证 设 为区间 上任意两点, 则 在区间 满足拉格朗日定理条件, 所 以在区间 上存在一点 使得 即 所以 例5 证 不妨假设 例6 证 由上式得 例7 在 内上连续， 则在 内存在一 使得 设 证 令 则 所以 使得 由于 所以 内可导， 在 柯西（Cauchy）中值定理 使等式 成立. 及 在闭区间 上连续, 如果函数 证 作辅助函数 内可导, 在开区间 在 内每一点处均不为零， 且 内至少有 那末在