高等数学3-1罗尔+柯西+拉格朗日中值定理.ppt

P134. 8, 10, 11, 12, 14 思考与练习 1. 填空题 上. 1) 函数 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 2) 设 有 个根 , 分别位于区间 方程 2. 设 且在 内可导, 证明至少存 在一点 使 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证 在 上满足罗尔定理条件. 设 例3 例4 证 注: 事实上 ？ 思考: 在 即 应用拉格朗日中值定理得 上对函数 当 时 因此由上式得 问是否可由此得出 不能 ! 因为 是依赖于 x 的一个特殊的函数. 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 . 思考题答案 作 业 提示: 题15. 备用题 求证存在 使 1. 设 可导，且 在 连续， 使得 证: 设辅助函数 显然 在 上满足罗尔定理条件, 因此至少存在 即 设 证明对任意 有 证： 2. 不妨设 运行时, 点击 “费马引理” 或“费马”按钮, 或相片, 可显示费马简介, 并自动返回 运行时, 点击“二. 拉格朗日中值定理”, 或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。 运行时, 点击“二. 拉格朗日中值定理”, 或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。 运行时,点击标题“三、柯西----” 或 “柯西”按钮, 或相片, 可显示柯西简介, 并自动返回. 只要是分段函数就得用定义法来求！！！！！！！！ 第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔( Rolle )定理 第一节 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 证: 则 证毕 有定义 且 存在 设 罗尔(Rolle) 定理 (2) 在区间 (a , b) 内可导 证: 若 M = m, 在( a , b ) 内至少存在一点 使得 M 和最小值 m . 所以在 上取得最大值 因为 在 上连续， 则 从而 (3) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 若 M m, 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 不妨设 则至少存在一点 使得 则由费马引理得 注意: 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 在( a , b ) 内至少存在一点 使得 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 几何解释: 在曲线弧 上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。 例1 证 由零点定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 根的存在性 根的唯一性 罗尔定理也常用于证明方程根的存在性，并估计根的范围. 例2 分析： 证 二、拉格朗日中值定理 (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 使得 满足: 至少存在一点 注: 若 ， 则得到Rolle定理. 因此, 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形. 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 证: 问题转化为证 在(a, b)内可导, 且 即定理结论成立 . 证毕 显然 , 在[a, b] 上连续, 由罗尔定理知至少存在一点 作辅助函数 说明: 拉格朗日中值公式的另一常见形式： 1. 拉格朗日中值公式 3. 则 2. 则 若 记 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某一点处的导数之间的关系. 增量 的精确表达式 4. 记 则有 ( 不一定很小!) 证: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 推论: 在 上使用拉格朗日中值公式 , 得 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . 在 I 上任取两点 例2. 证明等式 证: 由推论可知 经验: 设 则 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 欲证 时 只需证在 I 上 练习： 例3. 证明不等式 证: 设 即 因为 故 从而有 则 在 上满足拉格朗日中值定理条件,