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总结拉格朗日中值定

理的应用

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总结拉格朗日中值定理的应用

以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学

的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而

可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例

如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依

据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之

间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为

微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学

的学习有着极大的意义！

拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明(不)等

式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收

敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。

凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式，凑出适

当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成,变形后观察法

X

凑成，由此求出辅助函数•如例

FX)F(x)1.

例设函数在4耐上连续，在』)内可

1+/G)4

导，证明*存在£誉(占人使得

6

分析:结论变形为切⑹-孑⑷卜俗-寸)八

即可凑成尸(工)|”厂°-

称彳换成心结论变形为24/3)★⑷卜(护-/)几沪0,

w“胖-[(护-^)/u)r=o

从而町设辅助函数为阳』[妙韦VI孙

有FSTF⑻•本题得汪

证明：令尸仗何何卜，则F

2”|/

(在上连续•在内可导UF(a)-F(*),

t

由罗尔定理知■至少存在一点

使得一⑹-卅)广⑷

=2^(/(6)/(a)]-=0

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常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通

常用常数值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

k

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作为，即使常数部分分离出来并令其为，恒等变形使等式一端为与构成的代数

kkaf(a)

式，另一端为与.构成的代数式，将所证式中的端点值或改为变量移项即为辅

bf(b)(ab)x

助函数再用中值定理或待定系数法等方法确定,一

f(x),k

般来说，当问题涉及高阶导数时，往往