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拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理的

应用

乘积因子法：对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关

系的证明，直接构造函数往往比较困难．将所证结论的两端都乘以或除以一个

恒正或恒负的函数，证明的结论往往不受影响，(为常数)是常用的乘积凶

子．如例5.

介值法：证明中，通过引入辅助函数g(x)=f(x)-x将原问题转化为(a,b)可导

函数g(x)的最大值或最小值至少有一个在必在内点达到，从而可通过g(x)在

（a,b）可导条件，直接运用费马定理，完成证明。如例6。

一拉格朗日中值定理证明（不）等式

在不等式的证明中，关键是选取适当的辅助函数ｆ（ｘ）和区间（ａ，ｂ），

通过ξ的范围，根据导函数ｆ′确定ｆ′（ξ）和分式的范围，得证。如例题7。

例7．

例8：

例9：

二利用拉格朗日中值定理求极限

求极限的方法有很多，常见的有利用洛必达法则,利用重要极限等，而对于一些

极限也可用拉格朗日中值定理或者只能用这种方法来求解，如例10,11.

例10：

例11：

三研究函数在区间上的性质

因为拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候。我们可以借助

其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。比如

研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏

中值定理的结论。通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中

一种重要的方法。如例12：

四估值问题

证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便。特别是二阶及二

阶以上的导函数估值时。但对于某些积分估值，可以采用拉氏中值定理来证明。

五证明级数收敛

例13：