2024年中考数学复习-平行四边形的性质定理及其应用复习讲义.docx

平行四边形的性质定理及其应用复习讲义

题型A有关“性质定理论证型”的应用问题

知识点概述

(1)平行四边形的定义——有两组对边分别平行的四边形.

特征：①四边形；②对边平行；③两组对边相等.

(2)平行四边形的性质如下：

①两组对边分别平行；

②一组对边平行且相等；

③两组对边分别相等；

④对角相等，邻角互补；

⑤对角线互相平分.

特征：①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等.

【解说】

(1)从图形的结构特征记忆性质定理：

(2)平行四边形的性质定理通过三角形全等都可以得到证明，证明的主要依据是平行四边形的定义：两组对边互相平行.

【例1】如图8﹣1﹣1,在平行四边形ABCD中,两对角线、BD相交于点O.求证:

1ADBC,ABCD;

2

3AO=OC,BO=OD.

【解析】(1)在平行四边形ABCD中,因为AD∥BC,所以∠DAC=∠BCA,因为AB∥CD,所以∠BAC=∠ACD.又因为AC=AC,所以△ABC≌△CDA.所以AD=BC.

同理可证△ABD≌△CDB,得AB=CD.

(2)由(1)知,△ABC≌△CDA,所以∠ABC=∠ADC.由△ABD≌△CDB,所以∠BAD=∠BCD.

(3)在△AOD和△BOC中,因为AD∥BC,所以∠CAD=∠BCA,∠ADB=∠CBD.又由(1)知AD=BC,所以△AOD≌△COB.所以AO=OC,BO=OD.

题型B有关“性质定理求解型”的应用问题

知识点概述

这是一类已知四边形是平行四边形的基础求解问题.

【解说】在有关平行四边形的计算型求解过程中，要充分利用平行四边形的性质，必要时要构造出平行四边形，然后方可进行求解计算.

题型B﹣I线段求解型问题

知识点概述

有关平行四边形的线段求解，必须明确平行四边形的对边相等、对角线互相平分.

【解说】

(1)平行线三线八角性质定理的应用，借助角度的等量代换进行线段长的求解.

(2)结合三角形边长不等定理的应用.

【例2】如图8-1-2所示,△ABC是边长为a的等边三角形,点P是△ABC内的任意一点,过点P作EF∥AB,交AC、BC于点E、F,作GH∥BC,交AB、AC于点G、H,作MN∥AC,交AB、BC于点M、N,求EF+GH+MN的值是多少?

【解析】因为EF∥AB,GH∥BC,MN∥AC,

所以四边形PNCH、PEAM、PFBG是平行四边形,

所以EF=AM+BG,GH=BF+NC,MN=AE+HC.

又因为△ABC、△PFN、△PEH、△PMG、△EFC、△AGH、△MBN均是等边三角形，

所以EF+GH+MN=AB+BC=2a.

题型B﹣2周长求解型问题

知识点概述

平行四边形周长=2×(一组邻边的和)；

【解说】此类问题较多地仍然是借助①线段等量代换，②整体思想解之.

【例3】如图8-1-3,在△MBN中,BM=6,点A、C、D分别在MB、NB、MN上,四ABCD为平行四边形,∠NDC=∠MDA,,平行四边形ABCD的周长是().

A.24B.18C.16D.12

【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD,AD∥BC,所以.∠MDA=∠N,∠NDC=∠M.又因为∠NDC=∠MDA,所以,∠MDA=∠N=∠NDC=∠M,所以

所以BN+BM即为平行四边形ABCD的周长12.故应选D.

题型B﹣3面积求解型问题

知识点概述

(1)平行四边形面积S=底边a×高h?=底边b×高hb.

(2)由(1)可得平行四边形面积关系定理(公式)：a×h?=b×h,.

【解说】

(1)平行四边形短边上的高不一定在形内，在直角坐标系中计算平行四边形的面积时，尤其要注意常常需要用短边上的高来表示.

(2)有关平行线或平行四边形的面积问题常常需要进行等积变换，借助定理：

①平行线间的距离处处相等；

②等底、等高两三角形(平行四边形)的面积相等；

③等底(高)不等高(底)的两个三角形面积比等于高(底)的比.

【例4】如图8﹣1﹣4,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,=2cm,AF=3cm,,平行四边形ABCD的周长为20cm,求S平行四边形ABCD.

【解析】已知平行四边形ABCD的周长为20cm,则一组邻边的和为202=10cm,设AB边长为xcm,则BC边长为(10-x)cm.

所以S平行四边形ABCD=4×3=12.

题型B﹣4角度求解型问题

知识点概述

有关平行四边形角度的求解，一般地，均需要借助平行线三线八角性质定理解之.

【解说】有时须先证明四边形是平行四边形