2024年中考数学复习-二次函数中特殊平行四边形的存在性复习讲义.docx

二次函数中特殊平行四边形的存在性复习讲义

(一)菱形存在性

【例1】如图，已知二次函数的解析式为y=x2+6x+8,抛物线与x轴交于A,B两点,点C(-1,n)在抛物线上；若点P在直线AC上，点Q在坐标系内，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为.

【简答】先找使得△ABP为等腰三角形的点P的坐标，易知有如图所示：P?、P?、P?

易求得A-40,B-20,C-1

直线与x轴成45°角，用几何法能更快求出P?、

P1

当取P?点时,∵AB=BP?,补全菱形，易知点Q?的坐标为(-4

当取P?点时，∵AB=AP?,补全菱形，易知点(Q?的坐标为2

当取P?点时，∵AP?=BP?,补全菱形，易知点(Q?的坐标为-3

当取P?点时，∵AP?=AB,，补全菱形，易知点Q?的坐标为-2-

综上，满足条件的点Q的坐标为(-4，2)或2-22或-3-1)

【例2】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，(OA=2,OC=6,连接AC和BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为.

(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；

(4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)∵OA=2,OC=6,∴A(-2,0),C(0,-6),

∵抛物线y=x2+bx+c过点A、C,∴4-2b+c=00+0+c=-6,

∴抛物线解析式为y=x2-x-6,

(2)∵当y=0时,x2-x-6=0,解得：x?=-2,x?=3,∴B(3,0),抛物线对称轴为直线x=-2+32=12,∵点D在直线x=12上,点A

∴当点B、D、C在同一直线上时，CACD=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BCC最小,设直线BC解析式为y=kx-6,∴3k-6=0,解得:k=2,∴直线BC:y=2x-6,∴y

(3)过点E作.EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F，

设.E(t,t2-t-6)(0t3),则F

∴

∴当t=32时,△BCE面积最大,

∴点E坐标为32-214时,△BCE面积最大

(4)存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形.

∵A

①若AC为菱形的边长,如图,则MN∥AC且,.MN=AC=2

∴

(二)矩形的存在性

【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a(a0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且(CD=4AC.设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

【解析】由y=ax2-2ax-3a=ax+1x-3

由CD=4AC,得xD=4.

已知A(-1,0)、D(4,5a),xp=1,以AD为分类标准,分两种情况讨论:

①如图，如果AD为矩形的边，我们根据.AD//QP,AD=QP来两次平移坐标.

由于A、D两点间的水平距离为5,所以点Q的横坐标为-4.所以Q(-4,2la).

由于A、D两点间的竖直距离为-5a,所以点P的纵坐标为26a.所以P(1,26a).

根据矩形的对角线相等，得.AP2=QD2.所以22+

整理，得7a2=1.所以a=-77,

②如图,如果AD为矩形的对角线,我们根据AP//QD,AP=QD来两次平移坐标.

由于A、P两点间的水平距离为2,所以点Q的横坐标为2.所以Q(2,-3a).

由于Q、D两点间的竖直距离为-8a,所以点P的纵坐标为8a.所以P(1,8a).

再根据.AD2=PQ2,得52+

整理,得44a2=1.所以a=-12

我们从图形中可以看到，利用“三垂直”构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的.边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系.

上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程.

如图1,如果∠ADP=90°,那么MAMD=NDNP;如图2,如果

【例2】如图，将抛物线C1:y=-3x2+3

现将抛物线C?向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线