2024年中考数学复习-平行四边形的判定定理及其应用复习讲义.docx

平行四边形的判定定理及其应用复习讲义

题型A有关“判定定理论证型”的应用问题

知识点概述

平行四边形的判定：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

④对角线互相平分的四边形是平行四边形；

⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

【解说】

(1)论证平行四边形的判定定理的主要依据是平行四边形的定义：两组对边互相平行的四边形是平行四边形.

(2)由三角形全等证得对应角相等，进而证出两组线段平行.

【例1】证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

已知:AD∥BC,AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.

【解析】如图8-1-16,在△ADO和△BCO中,因为AD∥BC,所以∠1=∠2,∠3=∠4.又因为AD=BC,所以△AOD≌△COB.所以AO=OC,DO=BO.又因为∠AOB=∠COD,所以△AOB≌△COD.所以∠ABD=∠CDB,所以AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.

【例2】证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

已知:AO=OC,BO=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.

【解析】如图8-1-16,在△AOD和△COB中,因为AO=OC,BO=OD.又因为∠AOD=∠BOC,所以△AOD≌△COB所以∠1=∠2.所以AD∥BC.同理可证△AOB≌△COD,所以∠ABD=∠CDB,所以AB∥CD.所以四边形ABCD是平行四边形.

【例3】证明：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

已知:AD=BC,AB=DC.求证:四边形ABCD是平行四边形.

【解析】如图8-1-16,在△ABC和△CDA中,因为AD=BC,AB=CD.

又因为AC=AC,所以△ABC≌△CDA,所以∠1=∠2.所以AD∥BC.

同理可证△ABD≌△CDB,所以∠ABD=∠BDC,所以AB∥CD.

所以四边形ABCD是平行四边形.

【例4】证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

已知:∠A=∠C,∠B=∠D.求证:四边形ABCD是平行四边形.

【解析】如图8-1-17,在四边形ABCD中,

因为∠A+∠C+∠B+∠D=360°.又因为∠A=∠C,∠B=∠D,

所以∠A+∠B=180°,所以AD∥BC.

同理可证∠A+∠D=180°,所以AB∥CD.

所以四边形ABCD是平行四边形.

题型B有关“传统解证型”的应用问题

知识点概述

这是依据平行四边形的性质定理或判定定理解证的一类问题，其中题设及结论都是传统标准型的结构特征.

【解说】

(1)解此类问题主要依据平行四边形的性质定理、判定定理，并借助平行线三线八角性质定理.

(2)平行四边形的判定是新课标下最重要的内容之一，应仔细观察题给条件特征，选择适当的方法进行证明：

①一般地，若题设与四边形的对角有关，可采用两组对角分别相等的方法；

②一般地，若题设与四边形的边有关，可采用一组对边平行且相等或两组对边分别相等(或平行)的方法——前者是应用最广泛的判定定理，因而，一般地，这是判定平行四边形的首选判定依据；后者是依据平行四边形的定义的判定，注意平行线的判定以及三角形中位线性质定理的应用；常常结合三角形全等，证明线段相等.

③一般地，若题设与四边形的对角线有关，可采用对角线互相平分的方法——题给图形中画有两条(不是一条)对角线时，首选该定理判断之.

题型B﹣I“两组对边互相平行”解证型问题

【例5】已知:如图8﹣1﹣18,在平行四边形ABCD中,AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线.求证：四边形AFCE是平行四边形

【解析】证法1:因为四边形AFCE中,已有CE∥AF,所以须证AE∥CF.因为AE平分∠DAB,所以∠1=1

同理，∠2=12∠BCD.因为∠DAB=∠BCD,所以∠

又因为DC∥AB,所以∠2=∠3,所以∠1=∠3,

所以AE∥CF.又因为CE∥AF,所以四边形AFCE是平行四边形.

证法2：因为题设与四边形的对角有关，所以可考虑证两对角相等.

由证法1知,∠1=∠2,又因为AB‖CD,∠4=180°-∠2,∠5=180°-∠1,所以∠4=∠5.所以四边形AFCE是平行四边形.

题型B﹣2“一组对边平行且相等”解证型问题

【例6】如图8-1-19,已知平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.

求证：四边形GEHF是平行四边形.

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,AB∥CD,所以∠GBE=∠HDE.又因为AG=C