2024年中考数学复习-二次函数中平行四边形的存在性复习讲义.docx

二次函数中平行四边形的存在性复习讲义

方法一：平移坐标法

【例1】如图，已知抛物线：y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,顶点为C,点D的坐标为(0,1),在平面内找一点E，使得以B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求E的坐标。

【简答】由题意得:B(3,0),C(1,-4),D(0,1),

平移线段CD，使C与B重合，D平移至E?处，此时四边形BCDE?为平行四边形，

从C到B的平移方式为:右2,上4,∴D到E?也是:右2,上4,故点E?

同理，平移线段BC，使B与D重合，可得E?

平移线段BD,使D与C重合,可得1E?

综上所述，使以B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，E的坐标为(2，5)或(-2-3或

【例2】如图，已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线上有一动点P,直线y=12x上有一动点Q，若以A、C、P、Q为顶点的四边形是以AC

【简答】由题意得:A(-3,0),C(0,3),设P的坐标为t-t2-2t+3,由于AC为一边,故只有两种情况(ACPQ

①当四边形ACPQ为平行四边形时，C→A和P→Q的平移方式一致，

C→A的平移方式为:下3,左3,故P→Q的平移方式也是下3,左3,

∴Q点的坐标为t-3

∵Q在直线y=12x上,∴-t2-2t=

∵当t=-3时,P与A重合,故舍去,∴P点的横坐标为1

②当四边形ACQP为平行四边形时，A→C和P→Q的平移方式一致，

A→C的平移方式为:右3,上3,故P→Q的平移方式也是右3,上3,

∴Q点的坐标为t+3

∵Q在直线y=12x上

解得t=-5+974或t=-5-974,即

综上所述，满足条件的点P的横坐标为或123-5+974

方法小结：

当已知两个定点，以此线段为边，另外两个点是特定曲线或直线上的动点，我们可以按以下步骤进行：

①设其中一个点的坐标(只包含一个未知数)，

②根据平移坐标法，表示另一个点的坐标(注意分两种情况)，

③将另一个点的坐标带入其所在解析式，解方程即可。

注意，全程都没必要画图，只要注意四个顶点的顺序即可，平移的时候看清楚谁平移到谁，最后方程有解说明点存在，没有解说明点不存在，最后要注意所求的点是否和已知两点重合，如果有，要舍去。

请记住，图难画的时候不要纠结，我把上题的图给大家画出来，更直观的看一下，一般人是很难徒手把所有情况都画出来的，即使画出来了，不还得计算坐标吗?所以做题要讲究方法，不要犯强迫症，按照方法求解，最后简单的检验一下是否有重合就可以了。

方法二：边、对角线分类讨论法

【例1】已知抛物线，:y=14x2+32x+c经过点M(2，0)，现将抛物线L沿x

(1)求抛物线L?的解析式.

(2)若抛物线L与x轴交于A，B两点(点B在点A右侧)，点E在抛物线L?对称轴上一点，O为坐标原点，则抛物线L上是否存在点P，使以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)∵抛物线L:y=14

∴0=1+3+c,∴c=-4,

∴抛物线L的解析式为：y=

∵抛物线L沿x轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线.L?.

∴抛物线L?的解析式为：y=-

(2)∵抛物线L与x轴交于A,B两点(点B在点A右侧),

∴0=14x2+

∵点E在抛物线L?对称轴上一点，∴点E的横坐标为-4，

若AO为边,则AO=EP=8,AO∥EP,∴点P的横坐标为:.-12或4,

当x=-12时,y=36-18-4=14,∴点P(-12,14),

当x=4时,y=4+6-4=6,∴点P(4,6);

若AO为对角线,则AO的中点坐标为(-4,0),∴点P的横坐标为-4,

∴y=4-6-4=-6,∴点P(-4,-6),

综上所述:当点P坐标为(4,6)或(-12,14)或(-4,-6)时,以A,O,E,P为顶点的四边形是平行四边形.

【例2】如图,抛物线C?的图象与x轴交A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),点D为抛物线的顶点.(1)求抛物线C?的表达式及点D坐标；

(2)将抛物线C?关于点B对称后的抛物线记为(C?,求抛物线C?的表达式及顶点E的坐标；

(3)是否在抛物线C?上存在一点P，在x轴上存在一点Q，使得以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在请求出点P的横坐标，若不存在请说明理由.

【解答】(1)由题意可以假设抛物线C?的解析式为y=ax+3x-1,把C(0,3)代入y=ax+3x-1,得到