765- 含参量反常积分.ppt

二、一致收敛积分的性质 * * * §2 含参量反常积分 本节研究形如 的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积 性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情 况可类似处理。 设 是定义在无界区域 上, 若对每一个固定的 , 反常积分 都收敛,则它的值是 在区间 上取值的函数,表为 称为定义在 上的含参量 的无穷限反常积分, 或 简称为含参量反常积分. 对于含参量反常积分 和函数 则称含参量反常积分 在 上一致收敛于 . 一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分 在 上一致收敛的充要 一致收敛的充要条件; 含参量反常积分 在 上一致收敛的充要 条件是:对任一趋于 的递增数列 (其中 ),函数 项级数 在 一致收敛. 魏尔斯特拉斯M判别法: 设有函数 ,使得 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法 若 一致收敛。 证明 因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西 准则，有 且 收敛，则 关于 从而 所以 关于 一致收敛。 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法 若 一致收敛。 证明 因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西 准则，有 且 收敛，则 关于 从而 所以 关于 一致收敛。 例 1 在 内一致收敛 解 因为 而积分 收敛， 所以 在 内一致收敛 狄利克雷判别法; 阿贝耳判别法: 1. 连续性定理 因为 在 内一致收敛，所以 证明 因此，当 时， 设 在 上连续， 关于 在 上一致收敛，则一元函数 在 上连续。 又 在 上连续，所以 作为 的函数在 连续，于是 从而，当 时，有 定理证毕。 2. 积分顺序交换定理 设 在 上连续， 关于 在 上一致收敛，则 在 可积，并且 3. 积分号下求导的定理 设 在 上连续， 收敛， 关于 在 上一致收