《线性代数考研资料》第2章矩阵.doc

第二章 矩 阵 一、矩阵运算 1．（97，填（4）题，3分）设，B为三阶非零矩阵，且AB＝0，则t＝ 【分析】由AB＝0也可推知r(A)+r(B)3，而r(B)0。于是r(A)2,故有|A|=0t=-3. 【详解】由于B为三阶非零矩阵，且AB=0,可见线性方程组Ax＝0存在非零解，故 ??? 二、伴随矩阵 1．（05，12题，4分）设A为n()阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B，，分别为A，B的伴随矩阵，则 （A）交换的第1列与第2列得 （B）交换的第1行与第2行得 （C）交换的第1列与第2列得 （D）交换的第1行与第2行得 【 】 【答】应选（C） 【分析】本题考查初等变换得概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质尽心分析即可 【详解】为书写简捷，不妨考查A为3阶矩阵，因为A作初等行变换得到B，所以用初等矩阵左乘A得到B，按已知有 于是 从而 又因|A|=-|B|，故，所以应选（C） 三、可逆矩阵 1．（96，八题，6分）设，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，证明： （1）的充要条件是 （2）当时，A是不可逆矩阵 【分析】本题考查矩阵乘法的分配律、结合律。题中是n维列向量，则是n阶矩阵且秩为1。而是一个数 【详解】 （1） 因此 因为，所以故的充要条件为 （2）方法一：当时，由，有， 因为故有非零解，因此|A|=0,说明A不可逆 方法二：当，由，即E－A的每一列均为的解， 因为说明有非零解，故秩(A)n,因此A不可逆 方法三：用反证法。假设A可逆，当，有 于是，即，这与矛盾，故A时不可逆矩阵 2．（01，填（4）题，3分）设矩阵A满足，其中E为单位矩阵，则＝ 【分析】本题中矩阵A的元素没有给出，因此用伴随矩阵，用初等行变换求逆的方法行不通，应当考虑用定义法。 【详解】由题设，， 有 也即 故 四、初等变换和初等矩阵 1．（95，选（5）题，3分）设，，，，则必有 （A） （B） （C） （D） 【 】 【答】应选（C） 【分析】因为，为初等矩阵，对A左乘或右乘初等矩阵，相??于对A施行了一次行或列初等变换，这里，B是由A先将第一行加到第三行，再交换第一、二行两次初等变换得到的，故有 【详解】是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵，而B是由A先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交换得到的，因此有，故正确选项为（C） 2．（97，八题，5分）设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵为B （1）证明B可逆； （2）求 【分析】本题考查了初等矩阵的定义，性质一级初等变换的关系，将的第i行和第j行对换，相当于左乘一初等矩阵，交换两行，行列式变号，其值仍不为零，从而可逆 【详解】（1）记是由n阶单位矩阵的的i行和的j行对换后得到的初等矩阵，则 B＝E(i, j)A，于是有|B|=|E(i, j)||A|=-|A|0,故B可逆 （2） 3．（04，选（11）题，4分）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B得第2列加到第3列得C，则满足AQ＝C的可逆矩阵Q为 （A） （B） （C） （D） 【 】 【答】应选（D） 【分析】本题考查初等矩阵的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积 【详解】由题意，有 于是， 可见应选（D） 4．（06，（12）题，4分）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记则 （A） （B） （C） （D）