线性代数一_矩阵.ppt

1.4 分块矩阵 分块矩阵也可以按普通矩阵的运算方法运算。前提是: 所有小矩阵之间的运算有意义。 1.4 分块矩阵 1.4 分块矩阵 1.4 分块矩阵 1.4 分块矩阵 1.4 分块矩阵 1.4 分块矩阵 1.4 分块矩阵 1.4 分块矩阵 1.4 分块矩阵 对分块矩阵运算的说明： (1)分块矩阵的加法和乘法必须有意义。 (2)注意分块矩阵乘法的顺序(因矩阵乘法一般不满足交换律)。 (3)做分块矩阵的转置运算时，不仅各子矩阵本身要转置，它 们在分块矩阵中也要转置。 分块矩阵在矩阵的理论和应用中都是重要的： 利用分块矩阵可将矩阵中不同部分各自的规律清楚地表示出来，方便运算或推理。 适当的分块有助于理解矩阵的概念。 例如，考虑矩阵方程Ax=b ，A，x，b分别是m×n, n×1, m×1矩阵，若将A按列分块， 则Ax=b可写成 由此可把矩阵方程Ax=b转化成向量方程 从两种不同的角度研究同一问题，可使我们对该问题的理解更为透彻。 又如，研究m×s矩阵A和s×n矩阵B。把A按行分块，B按列分块，则AB可写成 上式表明AB的(i,j)元素是A的第i行向量ai和B的第j列向量bj的“内积”，这一观点在几何上很重要。 在计算机理论、电路理论、图论以及经济学等许多实际应用中所研究的矩阵具有分块性，应用分块矩阵研究这些问题更为方便。 本章基本要求 (1)理解一般矩阵及方阵的概念；理解零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、上(下)三角阵、对称(反对称)矩阵等特殊矩阵的定义。 (2)熟练掌握矩阵的线性运算(矩阵的加法与矩阵的数乘)、矩阵的乘法运算、矩阵的转置及其运算规律；理解矩阵运算的实际意义、矩阵运算与数的运算的异同。 (3)理解可逆矩阵的概念，熟练掌握可逆矩阵的运算性质。 (4)掌握分块矩阵及其运算规律。 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 例1.11 求对角矩阵A=diag(a1,a2,…,an), B=diag(b1,b2,…,bn) 的乘积。 解 所以AB仍是对角矩阵，且AB=diag(a1b1,a2b2,…,an bn)。 例1.12 设A, B是n阶上三角矩阵,试证明AB仍是上三角矩阵。 设A, B是n阶下三角矩阵,试证明AB仍是下三角矩阵。 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 例1.14 某生态公园现有某种鸟类5000只，其中患病的有20%，设每年健康的鸟有20%患病，而患病的鸟有60%治愈。求两年后健康的鸟和患病的鸟各有多少？ 解：设转移矩阵A为： 1.2 矩阵的运算 定义1.8 矩阵的转置 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 定义1.9 对称矩阵，反对称矩阵 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 第三节 逆矩阵 许多实际问题需要研究包含n个未知量x1,x2,…,xn的线性方程组 A=(aij)m×n称为(*)的系数矩阵，x=(xj)n×1称为(*)的未知数向量，b=(bi)m×1称为(*)的常数项向量。则上述线性方程组可写成矩阵方程 Ax=b 使用将矩阵乘法看作线性变换的观点，解上述线性方程组就是根据系数矩阵A，从像向量b求出原像向量x。 1.3 逆矩阵 解代数方程ax=b时，可在方程两边同乘a-1，解得 x=a-1b。可否用类似想法来解矩阵方程？ 1.3 逆矩阵 惟一存在 1.3 逆矩阵 1.3 逆矩阵 1.3 逆矩阵 1.3 逆矩阵 1.3 逆矩阵 1.3 逆矩阵 第四节 分块矩阵 1.4 分块矩阵 1.4 分块矩阵 线 性 代 数 第一章 矩阵 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 n维向量空间 第五章 特征值与特征向量 第六章 二次型 第一章 矩阵 第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 第三节 逆矩阵 第四节 分块矩阵 第一节 矩阵的概念 1.1 矩阵的概念 矩阵是从数表抽象出来的概念。例如，考察n个变量的线性方程组 其各常数aij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)为方程组的系数。方程组系数组成的数表 确定了方程组。因此可由