线性代数—逆矩阵.ppt

练习： * 第二节 则矩阵 称为A的逆矩阵. 在数的运算中， 当数 时， 有 其中 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； 单位阵E类似于1在数的乘法运算中的地位. 那么，对于矩阵A ， 如果存在一个矩阵 , 使得 对方阵, 有AE=EA=A, 定义 例 设 设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵，使得 则称A为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵，记为 说明 (1) 只有方阵才可能可逆; (2) 逆阵若存在, 则必唯一. 证 设B和C都是A的可逆矩阵，则 问题: (1) 什么条件下A才可逆? (2) 如果可逆, 如何求 ? 若A可逆, 两边取行列式, 若 则称A是非奇异的(或非退化的); 否则称A为奇异的(或退化的)。 是A可逆的必要条件. 下面说明这个条件也是充分的. 定义 性质 证明 为A的伴随矩阵 . 代数余子式, 称矩阵 回忆行列式按行展开公式: 类似有, 矩阵A是可逆的充分必要条件是A非奇异。当A可逆时，有 定理 证 充分性: 由 若 则 推论 证 求方阵 的逆矩阵. 例1 逆矩阵的求法 解 同理可求得 对于3阶以上的矩阵，用伴随矩阵法求逆矩阵很麻烦，以后将给出另一种求法--初等变换法。 例2 故A可逆的充分必要条件是 且 例如， 例3 对角阵 可逆的充分必要 条件是 且 例如， 例4 解 (1) 方程两端左乘矩阵 例5 解 例6 证 逆矩阵的运算性质 证 证 注意 A，B可逆，A+B不一定可逆， 即使可逆，一般 可逆阵A若对称(反对称)，则 也对称(反对称). 对称; 反对称. 对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。 证 线性方程组 写成矩阵形式 其中 此即克莱姆法则。 例7 证 所以 * * *