弧度与三角函数表张海潮.doc

PAGE  -PAGE 3- 弧度與三角函數表 張海潮 國立臺灣大學數學系(退休) 日常生活中對角度的認識是以將直角定為的度度量系統為基準。這個系統將一周角定為的傳統始於西方有相當悠久的歷史，但是為何選擇360這個數字，眾說紛紜，並無定論。 至於弧度量（或譯弳度量）是以代表直角的大小，它的想法比較觸及角度的本質，即角度是兩條直線相交張開的程度，因此將角頂視為圓心並以圓心角對應的圓周長和半徑之比來定圓心角的角度。 但是為什麼在度度量之外又要另立弧度量？以下略加探討，供教學者參考。 首先，將直角定為是任意的選擇，正如一公尺之於長度，也是一個相當任意的選擇。早先（1791年）法國科學院將一公尺定義為經過巴黎的子午線由北極至赤道之長度的一千萬分之一。這個定義看起來精準，但是最後還是得鑄造一個「米原器」作為國際間長度的標準。這個米原器現存法國 舍弗爾，一米即一公尺，是meter的音譯。 到了1983年的第17屆國際權度大會（亦稱國際標準局 BIPM）；將一公尺定為光在真空中的秒速的299,792,458分之一，這樣定義的主要原因是將真空中的光速視為一宇宙中的常數。 回到角度，角度最方便的單位其實是直角。直角的定義為兩條直線如果相交，並且所交出的四個角都相等，這個交角就稱為直角。因此之故，也可以取直角為角的自然單位。比方說，可以定直角為1，而將其它角視為直角的若干倍，例如角是個直角，三角形三內角和是兩個直角等等，早先歐幾里得幾何就是採取這樣的單位系統。 但是將角度的大小定為張開的弧長除以半徑卻是一個本質上對角大小的描述，這樣一來，弧度變成了一個「不名數」，即無單位的數，因此可以說弧度是獨立於任何單位系統。由於直角的弧度是，所以1弧度代表度度量中的度，大約是。而則相當於，大約是0.01745弧度。 透過1弧度和弧度，我們可以將度度量與弧度量互相換算，但真實的情形是，日常生活中不會以弧度量描述角度的大小，例如將直角說成1.57弧度。我們不禁要問：一個不為大多數人採用的度量為什麼會出現在高中的數學課程？ 我們先回想三角函數的圖形，以的圖形為例，注意到式中的是代表弧度，是的值。例如當（約為1.57）時，。不妨查表來看看其他角度的函數值： 角度弧度函數值 0.017450.0175 0.034900.0349 0.052350.0523 0.069800.0698 0.087250.0872 0.17450.1736 0.3490.342 0.52350.5在上表中，當角度小的時候，如果是弧度量，則和非常靠近。這是因為當小的時候，的近似值是。換句話說，，並且當趨近於0時，的極限值為1。 如果而延伸一點上述的看法，我們記得和，這兩個重要的微分公式都是在是弧度的前提之下才成立的，更不用說 這兩個泰勤展開式，式中的都是代表弧度。如果是代表度度量，那麼這些公式都要改寫。 最後提醒讀者，正因為（當小的時候），所以畫圖形過原點的那一段小弧線，斜率必須是1，或者說在的值為1，亦即。