第五章 弹性力学问题的建立与一般理论.ppt

第三节 平衡方程的齐次解 应力函数 代入平衡方程，并求积分得： 1. Maxwell应力函数 这里称 为应力函数。 第三节 平衡方程的齐次解 应力函数 以应力函数表示的协调方程为： 1. Maxwell应力函数 式中 第三节 平衡方程的齐次解 应力函数 1. Maxwell应力函数 此时，可解弹性力学中的平面问题，函数 称为艾雷(Airy)应力函数，协调方程可化为： 为双调和函数。 第三节 平衡方程的齐次解 应力函数 2. 马立拉(Morera)函数 第三节 平衡方程的齐次解 应力函数 2. 马立拉(Morera)函数 以应力函数表示的协调方程可表示为： 式中： 第四节 弹性理论的一般原理 1. 局部影响原理(圣维南原理) 2. 迭加原理 解为： 设物体的表面力为 及体积力 ，按方程求得的 于是 又设同一物体有表面力 及体积力 求得应力解为： 表示的应力由于表面力 和体积力 所产生。 可证明，基本方程及边界条件是线性的，即迭加原理，其适用条件为：小变形情况。 第四节 弹性理论的一般原理 3. 形变能定理 过去我们已讨论过形变能的变分形式，引入拉梅常数，并利用应力分量和形变分量表示，则有： 讨论外力作功时， 表示在变形过程中，形变能等于产生弹性位移时，外力所作功的一半，即形变能定理。 如逐渐施加载荷，则形变能等于外力所作的功。 第四节 弹性理论的一般原理 4. 功的互等定理 设在弹性物体上作用着两个外力系(即两个表面力和体积力系)，产生两个应力、形变和弹性位移系，形成两个状态，第一状态的力系在第二状态的相应的弹性位移上所作的功等于第二状态的力系在第一状态的相应的弹性位移上所作的功，这即功的互等定理。 5. 解的唯一性定理 6. 最小形变能定理 当弹性位移既适合位移边界条件，又满足平衡方程时，物体中的形变能总是最小。 第五章 弹性力学问题的建立和一般原理本章主要任务：（1）综合弹性力学的基本方程，及其边界条件；（2）求解弹性力学的两种方法—位移解法和应力解法；（3）弹性力学的几个基本原理（4）弹性力学中最简单的问题 弹性静力学的问题构成了偏微分方程组的边值问题，根据应力或位移为求解的未知函数进行简化，得到基本方程。直接求解一般是十分困难的，还需要进一步简化为平面问题和对称问题。基本方程还为弹性力学的数值解法奠定了基础。 第一节 基本方程及其边值问题 第二节 位移解法 以位移表示的平衡微分方程 第三节 应力解法 以应力表示的应变协调方程 第四节 弹性力学的一般原理 第五节 弹性力学的简单问题 第一节 弹性力学的基本方程及其边值问题 弹性力学基本方程包括平衡（运动）微分方程、几何方程和物理方程。 平衡（运动）微分方程： 张量形式： 几何方程---应变和位移的关系： 张量形式： 物理方程---应力和应变关系： （1）用应力表示应变的关系式 或张量形式： （2）用应变表示应力的关系式 或 空间问题的未知数 应力分量 6个 应变分量 6个 位移分量 3个 应力边界条件：在全部边界上给定外力(面力)， 应力应满足应力边界条件。 在S边界上 未知函数15个，方程数也为15个。位移和应力还应该满足单值条件 求解方程所需的边界条件: 张量形式为: 在S边界上 位移边界条件 在全部边界上的已知位移。 在S边界上 或 (3)混合边界条件既有应力边界，又有位移边界。 第二节 位移法 以位移表示的平衡微分方程 基本方程的解法 上述如此庞大的偏微分方程组的求解是不方便的，通常消去部分未知数，分为位移法和力法。 位移解法是以位移分量作为基本变量求解，故必须从基本方程中消去应力分量和应变分量，得到只包含位移分量的方程。位移法应用必须将边界用位移分量表示。 位移法：以位移为未知量 代入物理方程 σ= Dε 得到右式 将几何方程 再代入平衡方程，就得到位移形式的平衡方程，称为拉梅方程 其中 称为体积应变。 是拉普拉斯算子 拉梅方程还可以表示为： 其中： ， 矢量形式的方程： 其中： 第三节 应力解法