东北大学岩石力学讲义第五章-线弹性力学问题的微分提法.doc
第五章线弹性力学问题的微分提法
第一节线弹性力学的根本方程
在连续性、小变形、线弹性假设的根底上，从第二章到第四章，我们已从连续介质力学的一般规律出发，建立了线弹性力学的根本方程，它们是
1、平衡(运动)方程
2、几何方程
还有应变协调方程
3、本构方程
1)、
2)、
3)、
如果采用张量记法，上述方程可写为
1、平衡方程
2、几何方程
应变协调方程(Saint-Venant)
3、本构方程
(1)、
(2)、
(3)、
上面这组方程包括15个未知量，它们是6个应力，6个应变和3个位移，方程数也是15个。因此，方程是封闭的。在给了边界条件和初始条件(对弹性动力学)后，可以求出这15个未知量。
第二节线弹性力学问题的边界条件
为了求出上述偏微分方程的唯一解，还必须给出定解条件。在弹性静力问题中就是边界条件。通常有以下三类边界条件：
1、位移边界条件。在全部边界上位移，即
在上，(5.1)
式中是弹性体的外外表，是上的位移。此时弹性力学的边值问题归结为在上面三个边界条件下解15个方程。
2、应力边界条件在全部的边界上，面力，即应力，此时按斜面应力公式，可得到
在上，
此时，弹性力学的边值问题归结为，在以上应力边界条件下求解15个方程。
3、混合边界条件
假设边界可以分为两局部，即，在上应力，而在上位移，那么这样的边界条件，称为混合边界条件。
上面所说的三类边值问题分别被称为位移边值问题、应力边值问题和混合边值问题。
边界条件的提法不是任意的，它必须使在特定的边值条件下的根本方程，不仅是可解的(即解是存在的)，而且还是唯一的和稳定的。这三个条件共同构成了微分方程边值问题的适定性。
如果在同一边界上，既给定了位移，又给定了应力，那么问题是无解的，因而是不适定的。
但是除了上述最常用的三种边界条件外，也仍有其它边界条件，使得线弹性问题的微分提法是适定的，如以下图所示的，在同一边界上，局部位移和局部应力的边界条件。在这种情况下，y方向的位移是的，而x方向的剪应力为零。
图5.1
图5.1
在面AB上：
(5.2)
相应于三类边界条件，弹性力学问题的解法也分三类：
1、位移解法；2、应力解法；3、混合解法。
第三节线弹性力学边值问题的位移解法
位移解法是以位移(或者u、v、w)为根本未知量的解法，将弹性力学的根本方程化为只用三个位移分量表示的平衡方程，连同边界条件一起构成定解问题，从中求出位移(或者u、v、w)，将其代入几何方程求应变，最后将应变代入本构方程求应力的方法。
下面推导位移解法的根本方程，应力应变关系为
因此
将它们代入x方向的平衡方程，得出以应变表示的平衡方程
(a)
利用几何方程可得
将上面3个方程代入(a)式，可得
整理上式
即
式中是Laplace算子。按同样的方法可以得到其它两个方程，这样以位移表示的平衡方程为
(5-3)
用位移求解弹性力学问题，适用的边界条件可以是位移边界条件，也可以是应力边界条件。当采用应力边界条件时，边界条件需要用位移表示，如
将弹性应力应变关系代入上式，有
类似地可以得到其它2个应力边界条件，因此用位移表示的边界条件为
(5-4)
当然也可以保持应力边界条件形式不变，但这时需要将所得到的包括积分常数的位移的解，通过几何方程和应力应变关系，变换为应力，然后利用应力边界条件确定常数。
方程(5-3)常被称为Lame(拉梅)方程或Navier(纳维叶)方程，只要位移分量满足所要求的光滑度，那么从(5-3)式求出的位移满足变形协调方程，因此可以保证变形以后的物体仍是连续的。假设再通过边界条件求出应力，这些应力也满足平衡方程。
下面对Lame方程做进一步的讨论。用指标符号Lame方程可写为
(5-5)
此处，k是哑标，i是自由指标。利用弹性系数之间的关系
代入(5-5)式得到
将上式对xi求导得到
利用位移的连续性，并将哑标成对交换后，上式可以写