【2017年整理】东北大学岩石力学讲义第三章 应变分析.doc

第三章 应变分析 物体在外界作用下会发生运动和变形，应变分析的目的是研究物体局部几何变化和物体内各点的位移。这种研究以物体内部各点的初始位置和它们之间的关系为基础。 物体的变形或位移是在外部作用下发生的，也与物体本身的性质有关，但应变分析是从运动学的角度关系研究物体的变形。不涉及外部因素，也不过问材料性质。是一种不涉及引起物体运动和变形的原因的纯几何分析。所得的结论适用于任何连续介质。 第一节 位移描述 称物体变形前在空间占据的几何位置为构形B，变形以后占据的新的空间位置为构形B/。变形前物体中的三个质点P、Q、R，变形后到达新的位置P/、Q/、R/。用固定在空间中的笛卡儿坐标系，同时描述新、老两个构形。我们以初始构形中质点的位置标志质点。这样，P、Q、R既是质点的初始位置，也是质点的标识(或标志)。 图3-1 图3-1 B / B U U0 PQ P /Q/ 位移的性质 物体的连续性要求，其初始构形被不同的质点连续地、无间隙地充填。其后继构形B/被同样的质点连续地、无间隙地充填。从连续性假定，连同图3.1可以得到位移与变形的下列性质： 1、变形以前的点与变形以后的点有一一对应关系。(从数学上，这意味着反函数存在且唯一，若连则反函数的导数也连续且唯一)； 2、物体中各点的位移一般是不同的； 从上面两条性质可以导出： 3、位移是位置的单值连续函数； 4、物体中某点乃至物体整体的位移中包含了变形和刚体运动。 相对位移矩阵(对连续体运动和位移的一种数学描述) 考虑物质点P，其坐标为(x0，y0，z0)，位置矢量为。变形后P点运动到P/点，其坐标为，位置矢量为。P点的位移为，写成分量形式有 (3-1) 物质点Q是P点邻域内的一个点，Q点的坐标为(x，y，z)，位置矢量为，P点和Q点的坐标分量之间有关系 x=x0+dx； y=y0+dy； z=z0+dz (3-2) 变形后Q点运动到Q /点，Q /点的坐标为(x/, y/, z/)，位置矢量为，Q点的位移=U=-，写成分量形式为 (3-3) 由于位移性质3，P点的位移U可以写成U0(x0，y0，z0)，其分量形式为 u0(x0，y0，z0)；v0(x0，y0，z0)；w0(x0，y0，z0) (3-4) 显然，P/点的坐标为 x0/=x0+u0；y0/=y0+v0；z0/=z0+w0 因此P的位移的分量可从下式求出 u0= x0/- x0；v0= y0/- y0；w0= z0/- z0 同理Q点的位移可以写为U(x, y, z)，或者U(x0+dx, y0+dy, z0+dz)。其分量形式为 u(x，y，z)；v(x，y，z)；w(x，y，z) 或者 u(x0+dx，y0+dy，z0+dz)；v(x0+dx，y0+dy，z0+dz)；w(x0+dx，y0+dy，z0+dz) (3-5) 位移性质3还表明，位移是位置的单值连续函数，因此Q点的位移U可以用P点的位移U0表示。即Q点的位移分量u、v、w，可以用P点的位移分量u0、v0、w0表示。将u、v、w展开为P点位移的Taylor级数，并略去二阶以上小量 注意到u(P)就是u0，并且记住各个偏导数都是在P点进行的，则上式可简写为 (3-6a) 同理可以得到 (3-6b) (3-6c) 用矩阵表示，则有 (3-7a) 式中是Q的的位移矢量，是P的位移矢量。P点和Q点的相对位移(即两点位移之差)为 (3-7b) (3-7)式右端的矩阵称为相对位移矩阵。矩阵中的各个偏导数，都是在P点进行的，即 (i, j=x, y, z) (3-7b)式还可写成矢量形式 (i, j=x, y, z) (3-8) 此处已令 注意式左端的u是相对位移矢量，不是位移矢量。(3-7)和(3-8)表明，只要P点的位移已知，则P点邻域内任一点Q的位移都是已知的。 第二节 变形描述 物体的变形是通过一点邻域内的局部几何变化描述的。讨论伸长应变需要研究连接P点和 P /点的微线元长度的变化。讨论角应变需要通过研究连接P点和P/点、Q/点组成的两微线元夹角的变化。 应变的定义(工程应变) 正应变也叫伸长度，其定义为 从上式可以看出，正应变是线段相对长度的变化，弹性力学中，以线