东北大学概率论与数理统计第五章.pdf

第5章 大数定律及中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 5.1 大数定律 大数律是指随机现象在大量的重复试验或 观察下体现出来的规律，它反应了随机现象 的一个本质特征“平均结果的稳定性”。 5.1.1. 依概率收敛 假设 Y ，…，Y ，…是一个随机变量组成的 1 n 序列，a 是某一个常数。 如果对于任意正数  ＞0 都满足关系： lim n →∞P ( | Yn - a | ＞) = 0 或等价的 lim n →∞P ( | Yn - a | ≤) = 1 则称随机变量序列 Y ，…，Y ，…依概率 1 n p 收敛到常数 a ，记成： Y a n 依概率收敛与数列收敛的区别 (1) 数列 a 1 ，a 2 ，…收敛到常数 a ： 对任意固定的  ，当n充分大时这个数列 从第 n 项以后都落在区间 ( a - , a + ) 中。 (2) 随机变量序列 Y1 ，Y2 ，… 依概率收敛 到常数 a ： 对任意固定的  ，当n 充分大时这个序列从 第n 项以后基本只在区间( a - , a + )里取值。 例5.1.1 考虑数列 {a } 与随机变量序列 {Y } ： n n 1 (1) an = — ，对所有的n ≥1 ； n (2) Y 的概率分布定义为对所有的 n ≥1 ： n Y 0 1 n 1 1 p 1 - — — n n 对任意正数 -6 6 (如 10 ) ，则从10 +1 项开始， ① 数列an 全都落在区间 (0 - 10-6,0 + 10-6 ) 中， ② Y 落在 (0 - 10-6,0 + 10-6 ) 外的概率小于10-6 。 n 5.1.2 频率的极限是概率 定理 5.1.1 (切比雪夫大数定理) 假设 X 1 ，…，Xn ，…是一个独立随机变量 2 组成的序列，具有相同的期望 、方差 ， 定义这个随机变量序列的算术平均序列： X + … + X Y 1 n = ————— n n 则对于任意的正数  ＞0 都满足关系：