概率论与数理统计总结之第五章.doc

第五章 大数定律 定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 设随机变量……相互独立（是指对于任意n1，……是相互独立），且具有相同的数学期望和方差：…。作前n个随机变量的算术平均 则对于任意正数ε，有 证明： 由于 ， 由契比雪夫不等式可得 在上式中令并注意到概率不能大于1，即得 设……是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数ε，有 则称序列……依概率收敛与a，记为 设，又设g(x,y)在点（a,b)连续，则 上述定理一又可叙述为： 定理一 设随机变量……，相互独立，且具有相同的数学期望和方差：…，则序列依概率收敛于μ，即 定理二（伯努利大数定理） 设是n次独立重复试验中事件A发生的次数。p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε0,有 或 证明： 因为～，有 … 其中，……相互独立，且都服从以p为参数的（0-1）分布，因而…，由定理一得 … 即 这个定理表明事件发生的频率的稳定性 定理三（辛钦定理） 设随机变量……相互独立，服从同一分布，且具有数学期望…，则对于任意正数ε，有 显然，伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情况 中心极限定理 定理四（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量……相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：…，则随机变量之和的标准化变量： 的分布函数对于任意x满足 对其的解释： 均值为μ，方差为0的独立同分布的随机变量之和的标准化变量，当n充分大时，有～ 将上式左端改写成这样上述结果可写成： 当n充分大时， ～或～ 这也就是说，均值为μ，方差为的独立同分布的随机变量…的算术平均，当n充分大时近似地服从均值为μ，方差为的正态分布 定理五（李雅普诺夫定理） 设随机变量……相互独立，它们具有数学期望和方差： …， 记, 若存在正数δ，使得当时， 则随机变量之和的标准化变量： 的分布函数对于任意x，满足 对其的解释为： 随机变量， 当n很大时，近似服从正态分布N(0,1)，因此，当n很大时，近似服从正态分布 这就是说，无论各个随机变量服从什么分布，只要满足定理的条件，那么它们的和当n很大时，就近似服从正态分布 定理六（棣莫弗-拉普拉斯定理） 设随机变量服从参数为n,p（0p1)的二项分布，则对于任意x，有 证明： 将分解成为n个相互独立、服从同一（0-1）分布的诸随机变量…之和，即有 =， 其中的分布律为 由于由定理四得 这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，我们可以利用定理六中的式子来计算二项分布的概率 近似 近似 近似