09采矿弹性力学基础第五章空间问题的基本理论.ppt

第五章 空间问题的基本理论;教学重点 ;在一般空间问题中,包含15个未知函数： 6个应力分量 σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx； 6个应变形变分量 εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx； 3个位移分量 u,v,w。 它们都是坐标（x,y,z）的函数。 在弹性区域内部，要考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，分别建立3套基本方程：平衡微分方程，几何方程，物理方程。然后在边界条件下求解这些方程，得出应力分量、形变分量和位移分量。; 空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。;轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。; 在外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部分也将保持平衡。从中取出一个单元体加以分析。; 考虑图示单元体z轴方向的平衡: 在z面的负面z处，正应力记为;在y面的负面y处，切应力记为τyz,;§5-1 平衡微分方程;§5-1 平衡微分方程; 以六面体前后两面中心的直线ab为矩轴,列出力矩的平衡方程：;§5-2 物体内任一点的应力状态; 1、求AB面上的应力分量 px，py，pz; py= mσy + n τzy + l τxy; 2、求ABC面上的正应力σn和切应力分量τn; （5－5）; 则有：; （b）; （7－6）; 主应力的个数 设三次方程（5－6）至少有1个实根，因而至少存在1个主应力以及与之对应的主平面。若设该主应力为 σ3，并将z 轴放在这个应力主向，则有：; （d）;§5-4 几何方程及物理方程、边界条件; 二、空间问题的物理方程; 三、空间问题的边界条件; 2、应力边界条件; 四、体积应变; （5－12）; 五、体积应力Θ和体积模量;六、物理方程的另外一种形式 ——用形变分量来表示应力分量;; 总结： 在一般空间问题中,包含15个未知函数： 6个应力分量 σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx； 6个应变形变分量 εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx 3个位移分量 u, v, w。 它们都是坐标（x, y, z）的函数。 在弹性区域内部，这15个未知函数应当满足15个???本方程：3个平衡微分方程；6个几何方程；6个物理方程。此外，在给定约束位移的边界su上，还应当满足位移边界条件（7－9）；在给定面力的边界sσ上，还应当满足应力边界条件（7－5）。; 空间问题中的平衡微分方程：; （5－5）;§5-5 空间轴对称问题的基本方程; 在描述轴对称问题中的应力、形变及位移时，宜——圆柱坐标ρ,φ,z 。; 基本概念 径向线应变ερ——沿ρ方向的线应变； 环向线应变εφ——沿φ方向的线应变； 轴向线应变εz——沿z方向的线应变； γzρ——ρ方向与 z 方向之间直角的改变； γρφ——ρ方向与φ方向之间直角的改变； γz φ—— z 方向与φ方向之间直角的改变； 径向位移分量 uρ——沿ρ方向的位移分量； 环向位移分量 u φ——沿φ方向的位移分量； 轴向位移分量 uz——沿z方向的位移分量；;一、空间轴对称问题的平衡微分方程; 化简后得到; 根据z方向的平衡，可得; 空间轴对称问题的平衡微分方程为; 由于对称，各点环向位移uφ＝0，由径向位移产生的应变为; 由于柱坐标和直角坐标都是正交坐标，所以物理方程的基本形式可以直接根据虎克定律得来：; 式（5－17）的前三项相加，得;应力分量用应变分量表示为