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第五章 空间问题的基本理论 教学重点 §5-2 物体内任一点的应力状态 §5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力 §5-4 几何方程及物理方程、边界条件 §5-5 空间轴对称问题的基本方程 一、空间轴对称问题的平衡微分方程 四、体积应变 设微小正六面体的棱边长度： dx, dy, dz, 变形前的体积为: v = dxdydz; 变形后的体积为： v’=（dx +εxdx)(dy +εydy)(dz +εzdz) 体积应变（体应变）——单位体积的改变，称为体积应变。 （5－12） 则体应变为： 略去高阶微量，得： 将几何方程代入，得： （5－11） 五、体积应力Θ和体积模量 将物理方程中的前3项相加，得 令 其中： 称为体积应力； 则上式为： 称为体积模量。 （5－13） 六、物理方程的另外一种形式 ——用形变分量来表示应力分量 求解σx得: 由 代入上式，得： （5－14） 于是得用形变分量来表示应力分量的物理方程： 总结： 在一般空间问题中,包含15个未知函数： 6个应力分量 σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx； 6个应变形变分量 εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx 3个位移分量 u,v,w。 它们都是坐标（x,y,z）的函数。 在弹性区域内部，这15个未知函数应当满足15个基本方程：3个平衡微分方程；6个几何方程；6个物理方程。此外，在给定约束位移的边界su上，还应当满足位移边界条件（5－9）；在给定面力的边界sσ上，还应当满足应力边界条件（5－5）。 空间问题中的平衡微分方程： 空间物体的几何方程： 空间问题的物理方程 （5－5） 应力边界条件： l σx + m τyx + n τzx n σz + l τxz +m τyz mσy + n τzy + l τxy 在sσ上 位移边界条件： (在su上）（5－9） 轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题。 弹性体的形状：一般为是圆柱或半空间。 ρ 在描述轴对称问题中的应力、形变及位移时， ——圆柱坐标ρ,φ,z 。 特点：若对称轴为z轴，则所有的应力分量、形变分量、位移分量都将只是ρ、z的函数，不随φ而变。并且，具有方向性的各物理量应当对称于通过z轴的任何平面，凡不符合对称性的物理量必然不存在，它们应当等于零。 基本概念 径向线应变ερ——沿ρ方向的线应变； 环向线应变εφ——沿φ方向的线应变； 轴向线应变εz——沿z方向的线应变； γzρ——ρ方向与 z 方向之间直角的改变； γρφ——ρ方向与φ方向之间直角的改变； γz φ—— z 方向与φ方向之间直角的改变； 径向位移分量 uρ——沿ρ方向的位移分量； 环向位移分量 u φ——沿φ方向的位移分量； 轴向位移分量 uz——沿z方向的位移分量； * * * 1、空间问题的平衡微分方程、几何方程、物理方程； 2、空间轴对称问题的基本方程。 教学要求 1、了解空间问题的三套基本方程； 2、掌握物体内任一点的应力状态； 3、掌握轴对称问题的特点，了解轴对称问题的基本方程。 在一般空间问题中,包含15个未知函数： 6个应力分量 σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx； 6个应变形变分量 εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx； 3个位移分量 u,v,w。 它们都是坐标（x,y,z）的函数。 在弹性区域内部，要考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，分别建立3套基本方程：平衡微分方程，几何方程，物理方程。然后在边界条件下求解这些方程，得出应力分量、形变分量和位移分量。 空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。 球对称问题 球对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球(实心或空心球）。 在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标ρ的函数。 轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。 轴对称问题 ρ 在外力作用下，物体整体平衡的同时，