线性方程组解的结构定理.pptx
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;目录;;;;探究线性方程组解的性质和结构，为求解线性方程组提供理论支持。;;;;;;;;;;;;;;平面几何;;;;;;THANKYOU
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线性方程组解的结构.ppt
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第四章线性方程组解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理§4.3非齐次线性方程组解的结构
-2-其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?齐次线性方程组解的结构本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构主要内容:非齐次线性方程组解的结构如果当齐次线性方程组有无穷多解时,问题:1.2.如果当非齐次线性方程组有无穷多解时,其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?
§4.1线性方程组解的存在性定理对于齐次方程组非齐次方程组解的判别定理齐次方程组解的判别定理对于非齐次方程组
第四章01线性方程组解的结构024.4线性方程组在几何中
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4_4线性方程组解的结构.ppt
第五节 线性方程组解的结构;设有齐次线性方程组;则上述方程组（1）可写成矩阵方程;齐次线性方程组解的性质;１.定义;定理1;例1 解线性方程组;１．非齐次线性方程组解的性质; 其中 为对应齐次线性方程
组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特
解.;３．与方程组 有解等价的命题;４．线性方程组的解法;例2 求解方程组;(
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4–5线性方程组的解的结构.pptx
;１．解向量的概念;则上述方程组（1）可写成向量方程; 称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程
(2)的解．;２．齐次线性方程组解的性质; （2）若 为 的解， 为实数，则
也是 的解．;１．基础解系的定义;２．线性方程组基础解系的求法;现对 取下列 组数：;依次得; 下面证明 是齐次线性方程组解空
间的一个基．;由于 是 的解 故 也是 的
解.;
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4_3线性方程组解的结构.ppt
一、齐次线性方程组解的结构;齐次线性方程组非零解的存在性;一、? 齐次线性方程组解的结构;2 解空间 ;齐次线性方程组(1)一组解向量 ，;;;;5 齐次线性方程组解的结构 ;例1 求齐次线性方程组的基础解系． ;令 得;附： ;写出方程组(1)的一般解：;向量组 即为方程组(1)的一个基础解系.;二、一般线性方程组解的结构;1 解的性质 ;2 非齐次线性方程组解的结构 ;;求出(3)的导出组(4)的一个基础解系;例2 求解方程组 ;由;令 ，得;三、练习
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3线性方程组解的结构.ppt
2.3 线性方程组解的结构;讨论对象;一、齐次线性方程组解的结构
;定理2.10：若A为 矩阵，r(A)=r n, 则齐次线性方程组;解：;（行最简形）;即:;二、非齐次线性方程组解的结构
;例2：求下列非齐次线性方程组的结构式通解:;例3：设;例4：设;三、关于矩阵秩的一些结论;（2）;;方阵时的情形是一种特殊情形。;（3）
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2_4线性方程组解的结构.ppt
第四节 线性方程组解的结构;若AX=0有非零解, 这些解具有哪些性质?
解集合的整体结构如何?;定义2.4.1; 如果 ?1, ?2, …, ?s是齐次线性方程组AX=0 的
一个基础解系, 那么, 对任意常数c1,c2,…,cs,
?=c1?1+c2?2+…+cs?s
是 AX=0 的解, 称这种形式为AX=0 的通解
齐次线性方程组的关键问题就是求通解
而求全部解的关键问题是求基础解系;定理2.4.1;? 齐次线性方程组基础解系的求法;例1;由于n-r = 5-2 = 3, 所以有三个自由未知量: x2, x4
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4-4线性方程组的解的结构.ppt
§4 线性方程组的解的结构 * 补充例题 * n个未知数的齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)?n ? n个未知数的非齐次线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是R(A)?R(A? b)? 且当R(A)?R(A? b)?n时方程组有唯一解? 当R(A)?R(A? b)?n时方程组有无限多解? 齐次线性方程组解的性质 性质1 若x??1? x??2为方程Ax?0的解? 则x??1??2也是Ax?0的解? 这是因为 ?0?0?0? ?A?1?A?2 A(?1??2) 齐次线性方程组解的性质
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2–4线性方程组解的结构.ppt
第四节 线性方程组解的结构;若AX=0有非零解, 这些解具有哪些性质?
解集合的整体结构如何?;定义2.4.1; 如果 ?1, ?2, …, ?s是齐次线性方程组AX=0 的
一个基础解系, 那么, 对任意常数c1,c2,…,cs,
?=c1?1+c2?2+…+cs?s
是 AX=0 的解, 称这种形式为AX=0 的通解
齐次线性方程组的关键问题就是求通解
而求全部解的关键问题是求基础解系;定理2.4.1;? 齐次线性方程组基础解系的求法;例1;由于n-r = 5-2 = 3, 所以有三个自由未知量: x2, x4
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3§6线性方程组解结构.ppt
§6 线性方程组解的结构;证明：;(2) 设( k1, k2, …, kn ) 是方程组(1)的一个解，c为任;注 对于齐次线性方程组，综上可知，解的线性;定义17;定理8;若r = n，则方程组没有自由未知量，方程组(3)的;即方程组(1)的任意两个解，只要自由未知量的值;下证（5）就是一个基础解系．;再证方程组(1)的任一个解都可以用;证明过程事实上就是一个求基础解系的方;注3 求齐次线性方程组的解，实际上只需求出;非齐次线性方程组解的结构;为讨论非齐次线性方程组的解，先考察它的解与;2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组的一个;定理9;则;注 由定理9可知，求一非齐
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3–4、5、6线性方程组的结构.ppt
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4-3 线性方程组解的结构.ppt
求解一般线性方程组的步骤 行初等变换 阶梯形 判定： 方程组无解，计算结束. 转入下一步骤（2） 行初等变换 方程组有唯一解，行简化阶梯形矩阵的最后一列即是方程组的解.计算结束. 转入下一步骤（3） 复习 有非零解 §4.3 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 的矩阵形式为 其中： 性质1 证： 性质2 证： 性质3 证： 解向量组： 定义4.1： 线性方程组的一个基础解系。 定理4.3： 证： 代入方程组(3)得： 求齐次线性方程组的基础解系，并用基础解系表示通解 行初等变换 行简化阶梯形 写出方程组的简化形式。 例1、求方程组的基础解系，并用基础解系表示全部解 解： 得方
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4-4 线性方程组解的结构.ppt
* * * * 第四节 线性方程组的解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构 向量组的线性相关性 三、小结 思考题 返回 上页 下页 一、齐次线性方程组的解的结构 齐次线性方程组可写成向量方程的形式： 1. 解向量的概念 其中 是由未知量 x1, x2, …, xn 构成的 n 维向量. 因此，方程组的解称为解向量. (含有 m 个方程、n 个未知量) 返回 上页 下页 例如，齐次线性方程组 可写成向量方程： 此方程组有无穷多解. 都是方程组的解向量. 容易验证 返回 上页 下页 2. Ax=O 的解的性质 定理 1 若 ?1, ?2
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3–3线性方程组的解的结构.ppt
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3–5线性方程组解的结构.ppt
复 习;第五节 线性方程组的解的结构 ;一、齐次线性方程组的解的结构 ;2.齐次线性方程组的基础解系 ; (1)用初等行变换把n元齐次线性方程组Ax?0的系数矩阵A化为简化行阶梯形;其中xr?1? ??? ? xn为自由未知数? ; 例1 求齐次线性方程组 ;? ; 解 ; 例4 设Am?nBn?l?0? 证明R(A)?R(B)?n ?
证 记B?(b1? b2? ???? bl)? 则
A(b1? b2? ???? bl)?( 0? 0? ???? 0)?
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3–5非线性方程组解的结构.ppt
信息系 刘康泽 ; 一、非齐次线性方程组解的性质;证明：;二、非齐次线性方程组解的结构