《高等数学》极限的概念.doc

极限的概念 极限的思想是由于求某些实际问题的精确解而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元前3世纪）利用圆内接多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。 极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多概念都是建立在极限基础上的，例如，一元微积分中的连续、导数以及定积分等概念。本节将给出极限的定义，然后利用定义求一些简单变量的极限。 1.3.1数列极限的定义 1. 定义 中学里我们已经学习过数列（整标函数）的概念，下面我们将考察当自变量无限增大时，数列的变化趋势。先观察下面三个数列： （1） （2） （3） 为清楚起见我们把这三个数列的前几项分别在数轴上表示出来（见图，，，） 图 图 图 由图可以看出，当无限增大时，表示数列的点逐渐密集在的右侧，即数列无限接近于1；由图可以看出，当无限增大时，表示数列的点逐渐密集在的左侧，即数列无限接近于1；由图可以看出，当无限增大时，表示数列的点逐渐密集在的附近，即数列无限接近于1。 归纳这三个数列的变化趋势，可知当无限增大时，都分别无限接近于一个确定的常数。一般地，有下述定义： 定义1.3.1 若当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数，则就叫做数列的极限，记为 或当时， 由此定义，数列（1）、（2）、（3）的极限可分别表示为，，。 注：（1）数列极限定义中 “当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数”的实质：两个数与之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值，即的大小来度量，越小，与就越接近。“越来越小”这种变化趋势，有时也说成“可以任意小”，在数学上常采用以下术语来描述： “对于任意预先指定的正数（不论它多么小），总能找到适当的项，使得这一项后面的所有项与之差的绝对值都小于，即不等式都成立。” 由此，数列极限还可采用下述定义： 定义1.3.2 若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于的一切，不等式都成立，则称常数是数列的极限。 （2）若一个数列存在极限，则称该数列是收敛的，否则，称该数列是发散的。 2. 收敛数列的有界性 定理 收敛的数列必定有界。 注：有界数列不一定收敛，例如，： 推论 无界数列必定发散。 1.3.2函数极限的定义 若将数列极限概念中自变量和函数值的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：“在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，则常数就称为函数在自变量的上述变化过程中的极限。”显然，极限是与自变量的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式。 下面分两种情况来讨论：（一）自变量趋于有限值时函数的极限；（二）自变量趋于无穷大时函数的极限。 1. 自变量趋于有限值（）时函数的极限 定义1.3.3 设函数在内有定义，若当时，对应的函数值无限接近于，则称常数为函数当时的极限。记作 或当时， 注：定义中表示无限趋近于但，所以时，有没有极限与在点是否有定义以及如何定义无关。例如，函数在处无定义，但有；又如，符号函数在处有定义，但无极限；再如函数在处有定义，且 但函数值不等于极限值。还有一种情况是：函数在点既有定义，也有极限，且两者相等。这种情况将在稍后的函数连续性中专门讨论。 上述时函数的极限概念中，是既从的左侧也从的右侧趋于。但有时只能或只需考虑仅从的左侧趋于（记作）的情形，或仅从的右侧趋于（记作）的情形。若时，，则叫做函数当时的左极限，记作或；若时，，则叫做函数当时的右极限，记作或。 根据时函数的极限的定义，以及左极限与右极限的定义，容易得到：函数当时的极限存在的充分必要条件是左极限与右极限各自存在并且相等，即 因此，即使和都存在，但若不等，则不存在。 【例1】符号函数 由于，，故不存在。 *【例2】设 求 。 解：令，由于时，，，即 而时，，，即 故不存在。 2. 自变量趋于无穷大（）时函数的极限 定义1.3.4 设函数当（）时有定义，若当时，对应的函数值无限接近于确定的常数，则称常数为函数当时的极限。记作 或当时， 若且无限增大（记作），则只要把上面的定义中的改为，就可得到的定义；同样，而无限增大（记作），则只要把上面的定义中的改为，就可得到的定义。并且存在的充分必要条件是和均存在且相等。 例如，从基本初等函数的图像上看，可得 ，，，不存在 等。 习题 判别下列极限是否存在, 如果存在求出其值： (1)； (2)。 2．求，当时的左右极限，并说明它们在的极限是否存在。 3．若，则必有（ ） （A）在点处有定义； （B）在点的某去心邻域内有定义。