高等数学节数列的极限.ppt

例3 证 例4 证 成立. 由极限的定义可知: 放大不等式法 例7 证 通常说成：常数的极限等于其自身. 例8 证 由绝对值不等式, 得 注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(?1)n}. 三. 数列的性质 单调性 有界性 (1) 数列的单调性 单调增加 不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说. 单调减少 不增加的 严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 统称为单调数列 数列 (2) 数列的有界性 回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形 我学过吗 ？ 数列的有界性的定义 如何定义数列无界？ 有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？ 想想： 现在来讨论如何定义数列的无有界性： 首先看有界性定义的关键所在 对所有的 例2 … xn x2 x1 x 0 x3 … ????? ????? 观察例1 中的几个数列： 0 1 –1 x * 第二节 数列的极限 一、数列的概念 二、数列的极限 三、数列极限的性质 称为一个数列, 记为{ xn }. 1. 定义 数列中的每一个数称为数列的一项 xn = f (n) 称为数列的通项或一般项 一、数列及其简单性质 数列也称为序列 2. 数列的表示法 公式法 图示法 表格法 运用数轴表示 运用直角坐标系表示 介绍几个数列 xn 0 2 4 2n x1 x2 … … x ????? ????? ????? … … 例1 … xn x2 x1 x 0 x3 … ????? ????? 0 1 –1 x 所有的奇数项 所有的偶数项 x 1 M 3 x 1 x x4 x2 ????? ????? 0 所有奇数项 1 xn x3 x2 x1 x 0 … … … ????? ????? … 一般地, 如果数列{xn} 当 n ? ? 时, 列{xn} 当 n ? ? 时以 a 为极限, 记为 xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数 此时, 也称数列是收敛的. 二、数列极限的定义 播放幻灯片 52 问题: 当n无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它? 通过上面演示实验的观察: 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 定义 总存在正数N, 不等式 记为 或 几何解释: 极限定义的辨析： 几点说明： (1)极限定义中的正数ε是任意给定的(既是任意的,又是给定的),ε用来刻画“an无限趋向于a”的程度,ε越小,un越接近于a. (2)定义中正整数N是随ε而定的,用来刻画“n无限增大”的程度. (3)极限定义的几何意义是:若数列{un}的极限为a,则在以a为中心、任意给定的正数ε (无论多么小)为半径的ε领域(a－ε,a+ε)之外,至多有N个点u1,u2,…,uN,而其他无限多个点uN+1,uN+2,…都落在该领域之内. 例1 证 用数列极限的定义证明极限. 例2 证 故取 则 n N 时, 由极限的定义, 得 *