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第四章 坐 标 变 换 一、学习目的 通过本章的学习，使学生掌握平面的仿射坐标变换、直角坐标变换的定义和性质；熟练掌握点、向量的仿射坐标变换公式和直角坐标变换中的过渡矩阵、移轴公式、转轴公式等坐标变换公式及其应用．本章计划12学时，总结与复习3学时． 、重点、难点 一）教学重点：重点是点的直角坐标变换的定义和性质； （二） 教学难点：难点是点的直角坐标变换的求法和函数图形的形状分析和。为说话方便起见，前一个称为旧坐标系，简记为；后一个称为新坐标系，简记为。点（或向量）在中的坐标系称为它的坐标（或旧坐标）；在中的坐标称为它的坐标（或新坐标）。为了研究同一点的坐标与坐标的关系，就首先要确定与的相对位置。 设的原点坐标的坐标是，设的基向量,的坐标分别是，。现在我们来求点的坐标与它的坐标之间的关系。 因为， 所以 公式称为平面上坐标到的点的仿射坐标变换公式。它把任意一点的坐标表示成它的坐标的一次多项式。 定理4.1 平面上点的仿射坐标变换公式的系数行列式不等于零，即 证明：假设中系数行列式为零，则由定理1.4知，与共线矛盾。所以结论成立。 由于公式中的系数行列式（记为）不等于零，因此把看成的方程组，可以求得唯一解： 公式把任意一点的坐标表示成它的坐标的一次多项式，称它是到的点的仿射坐标变换公式。 4.1.2 向量的仿射坐标变换公式 现在来看平面上的向量的坐标与它的坐标之间的关系。设，其中的坐标为,的坐标为。则 即 称为平面上坐标到的向量的仿射坐标变换公式，它把任一向量的坐标表示成它的坐标的一次其次多项式（即没有常数项），这是与点的坐标变换公式不同的地方。平面上的点和向量是有本质区别的两种对象，如果只从一个坐标系来看，则点和向量的坐标都是有序实数偶，看不出点和向量的区别；但是如果取两个仿射坐标系（它们的原点不重合），通过坐标变换，则点和向量的区别就明显了：点的坐标变换公式中有常数项，而向量的坐标变换公式中就没有常数项。 由于中系数行列式不为零，因此可反解出： 这是到的向量的仿射坐标变换公式。由看出，的基向量的坐标分别是 。 作业：习题4.1：3。 §4.2 矩阵及其运算 4.2.1 矩阵的概念及矩阵的运算 定义4.1 个实数排成行，列的一张.表 称为一个矩阵。 定义4.2 两个矩阵，如果它们的行数和列数相同，并且对应的元素都相等，则称它们是相等的矩阵，。 矩阵的加法和数量乘法 定义4.3 若都是矩阵，则 ， 这种运算称为矩阵加法（或减法）。 定义4.4 若都是矩阵，是实数，则 ， 这种运算称为矩阵的数量乘法。 矩阵加法（或减法）和数量乘法满足下述规律： 对任意的矩阵，实数，有 （二） 矩阵的乘法 定义4.5若都是矩阵，都是矩阵，则规定乘以得到一个矩阵（记作），的元素是的第行元素与的列元素乘积之和，即的元素：，其中。 矩阵乘法满足下述规律： 对任意的矩阵，实数，有 （三） 矩阵的转置 定义4.6 把一个矩阵的行、列互换得到的矩阵称为的转置，记为（或）。 矩阵的转置满足下列规律： 定义4.7 级矩阵如果满足： ， 则称是对称矩阵。 4.2.3 方阵的行列式 若，则称是非奇异的；否者称为奇异的。 定理4.2 若和都是级矩阵，则 定义4.8 若对于级矩阵，存在矩阵，使得 , 则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵。 定理4.3 矩阵可逆的充分必要条件是（即非奇异）。 命题4.1 若对于方阵，存在方阵，使，则是的可逆矩阵，并且。 利用命题4.1容易证明可逆矩阵具有下述性质： 若均是级可逆矩阵，则可逆，并且 若可逆，则也可逆，并且 若可逆，则. 4.2.5 正交矩阵 定义4.9 若一个级矩阵适合 则称是正交矩阵。 命题 4.2 级矩阵是正交矩阵的充分必要条件为 . 从而矩阵是正交矩阵的充分必要条件为 . 容易证明正交矩阵有下述性质： 若均是级正交矩阵，则也是正交矩阵； 若是正交矩阵，则也是正交矩阵； 若是正交矩阵，则或（在证明这条性质时，要用到这一事实）。 命题 4.3 是正交矩阵的充分必要条件为：的每一行元素的平方和等于1，每两行对应的元素乘机之和等于零，即 （4.16） 命题4.4 是正交矩阵的充分必要条件为：的每一列元素的平方和等于1，每两列对应的元素乘机之和等于零。 §4.3平面直角坐标变换 设，（I[O;e1,e2],II[O;e1,e2]）都是直角坐标系，本章§1和§2中关于仿射坐标变换的一般结论和方法对于直角坐标变换都成立。本节来进一步研究直角坐标变换的特殊性。 4.3.1直角坐标变换公式