第四章傅里叶变换和系统频域.ppt

求功率谱 因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换,所以功率谱为: P(ω) 四、能量谱和功率谱分析 时域 频域 因此 显然 物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与|H(jω)|2的乘积。 同样，对功率信号有 Py(ω)= |H(jω)|2 Pf(ω) 4.7 周期信号傅里叶变换 一、正、余弦的傅里叶变换 1←→2πδ(ω) 由频移特性得 e j ω0 t ←→ 2πδ(ω–ω0 ) e –j ω0 t ←→ 2πδ(ω+ω0 ) cos(ω0t)=?(e j ω0 t + e –j ω0 t) ←→ π[δ(ω–ω0 ) +δ(ω+ω0 )] sin(ω0t)= (e j ω0 t - e –j ω0 t)/(2j) ←→ jπ[δ(ω+ω0 ) – δ(ω – ω0 )] 二、一般周期信号的傅里叶变换 例1：周期为T的单位冲激周期函数?T(t)= 解： (1) 例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。 解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即 f(t) = ?T(t)* f0(t) F(jω) = Ω?Ω(ω) F0(jω) F(jω) = 本题 f0(t) = g2(t)←→ (2) (2)式与上页(1)式比较，得 这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。 4.8 LTI系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。 对周期信号： 对非周期信号： 其基本信号为 ej ?t 一、基本信号ej ?t作用于LTI系统的响应 说明：频域分析中，信号的定义域为(–∞，∞)，而t= – ∞总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。 设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ej ?t时，其响应 而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j ?)，常称为系统的频率响应函数。 y(t) = H(j ?) ej ?t H(j ?)反映了响应y(t)的幅度和相位。 y(t) = h(t)* ej ?t 二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 ej ?t H(j ?) ej ?t F(j ?) ej ?t d ? F(j ?)H(j ?) ej ?t d ? 齐次性 可加性 ‖ f(t) ‖ y(t) =F –1[F(j ?)H(j ?) ] Y(j ?) = F(j ?)H(j ?) 频率响应H(j?)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j?)与激励f(t)的傅里叶变换F(j?)之比，即 ?H(j?)?称为幅频特性（或幅频响应）；θ(?)称为相频特性（或相频响应）。?H(j?)?是?的偶函数，θ(?)是?的奇函数。 频域分析法步骤： 傅里叶变换法 对周期信号还可用傅里叶级数法。 周期信号 若 则可推导出 例：某LTI系统的?H(j?)?和θ(?)如图， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。 解法一：用傅里叶变换 F(j?) = 4πδ(ω) + 4π[δ(ω–5) + δ(ω+5)] + 4π[δ(ω–10) + δ(ω+10)] Y(j?) = F(j?)H(j?) = 4πδ(ω) H(0) + 4π[δ(ω–5) H(j5) + δ(ω+5) H(-j5)] + 4π[δ(ω–10) H(j10) + δ(ω+10) H(-j10) ] H(j?)=?H(j?)?ejθ(?) = 4πδ(ω) + 4π[-j0.5δ(ω–5) + j0.5δ(ω+ 5) ] y(t) = F-1[Y(j?) ]= 2 + 2sin(5t) 解法二：用三角傅里叶级数 f(t)的基波角频率Ω=5rad/s f(t)= 2 + 4cos(Ωt) + 4cos(2Ωt) H(0) =1， H(jΩ) = 0.5e-j0.5π， H(j2Ω) = 0 y(t) = 2 + 4×0.5cos(Ωt – 0.5π) = 2 + 2sin(5t) 三、频率响应H(j?)的求法 1. H(j?) = F [h(t)] 2. H(j?) = Y(j?)/F(j?) 由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。 由电路直接求出。 例1：某系统的微分方程