2025届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.7解三角形应用举例学案理含解析北师大版.doc
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第七节解三角形应用举例
命题分析预料
学科核心素养
从近五年的高考来看，本节内容干脆命题较少，主要涉及高度、距离、角度等实际应用问题．
本节主要考查考生的数学建模、数学运算核心素养．
授课提示：对应学生用书第84页
学问点测量中的有关术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α
例：（1）北偏东α：
（2）南偏西α：
?温馨提示?
易混淆方位角与方向角的概念
1．方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
2．“方位角”与“方向角”的范围：方位角大小的范围是[0°，360°），方向角大小的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0°，90°))．
1．（易错题）若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的（）
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
解析：如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°．
∴点A在点B的北偏西15°．
答案：B
2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为m．
解析：由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，又因为∠B＝30°，
所以AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)（m）．
答案：50eq\r(2)
3．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝米．
解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，
又∠PBC＝γ＝60°，
所以∠BPA＝（90°－α）－（90°－γ）＝γ－α＝30°，
所以eq\f(a,sin30°)＝eq\f(PB,sin15°)，所以PB＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a，
所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ
＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a×sin60°＋asin15°＝eq\f(\r(2),2)a．
答案：eq\f(\r(2),2)a
授课提示：对应学生用书第84页
题型一距离问题
[例]（2024·宁德质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙隐私的最终遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径（即A，B两点间的距离），现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为_________．
[解析]由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40（eq\r(6)＋eq\r(2)）．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，
得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40（eq\r(6)－eq\r(2)）．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×（8＋4eq\r(3)）＋1600×（8－4eq\r(3)）＋2×1600×（eq\r(6)＋eq\r(2)）×（eq\r(6)－eq\r(2)）×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，
解得AB＝80eq\r(5)．
故图中海洋蓝洞的口径为80eq\r(5)．
[答案]80eq\r(5)
求距离问题的两个留意事项
（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则干脆求解；若有未知