第三节常用连续型随机变量的理论分布.doc

第一节 事件与概率 （一）概率的定义 研究随机试验，需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性。 能够刻画事件发生可能性大小的数量指标称之为概率(probability)。事件A的概率记为P（A）。 1．概率的古典定义 （先验概率） 随机试验具有以下特征，称为古典概型。 1.试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个； 2.各试验的结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的； 3.试验的所有可能结果两两互不相容。 对于古典概型，概率的定义： 设样本空间由 n 个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即 P（A）=m/n 这样定义的概率称为古典概率 2．概率的统计定义（经验概率） 在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为随机事件A的频率；当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值p，那么就把 p称为随机事件A的概率(probability)。 2．概率的运算法则 加法法则：互斥事件A和B的和事件的概率等于事件A和事件B的概率之和。即 P(A+B)=P(A)+P(B)。 加法定理对于多个两两互斥的事件也成立。P(A+B+…+N)=P(A)+P(B)+…P(N) P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB） 乘法法则： 如果A事件和 B事件为独立事件，则事件A与B事件同时发生的概率等于两独立事件概率的乘积，即： P(AB)=P(A) ?P(B) 乘法定理对于n个相互独立的事件也成立，即 P(A1A2 ? ? ? An)=P(A1) P(A2) ? ? ?P (An) 书上例题 第二节 常用离散变量的理论分布 一、二项分布 （一）贝努里试验及其概率函数： 指只有两种可能结果的随机试验，我们将其中比较关注的结果称为“成功”，另一个结果称为“失败”。 将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称n次试验是独立的 对于n次独立的试验 如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与 之一， 在每次试验中出现A的概率是常数p(0p1), 因而出现对立事件 的概率是1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努里试验，简称贝努里试验 在n重贝努里试验中，事件 A 可能发生0，1，2，…，n次，来求事件 A 恰好发生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。 例：抛掷4次硬币，正面朝上（A）出现2次的概率。先取n=4，k=2。在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下C42种： 一般，在n重贝努里试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为 k=0,1,2…,n （二）二项分布的定义及性质 1、二项分布的定义： 设随机变量 x 所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…，n，且有： k=0,1,2…,n 其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布 ，记为： B(x;n,p)。 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为正整数离散参数；p 是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q=1－p)。 2、二项分布的性质：容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即： （1）P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,…，n) （2）二项分布的概率之和等于1，即 (3) (4) (5) （m1m2） 3、二项分布的图形特征： 二项分布的图形由n和p两个参数决定： （1）当p值较小且n不大时，分布是偏斜的。但随着n增大 ，分布逐渐趋于对称； （2）当p值趋于0.5时，分布趋于对称； （3）对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少。 此外，在n较大，np、nq较接近时 ，二项分布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分布是正态分布。(n≥30,np≥5,nq≥5时，近似正态分布。) (三）二项分布概率计算及应用条件 二项分布的应用条件有三： 1.各观察单位只具有互相对立 的一种结果，属于二项分类资料； 2.已知发生某一结果的概率为p，其对立结果的概率则为1－p=q ，要求p是从大量观察中获得的稳定数值； 3.n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察单位的结果不会影响到其它观察单位的观察结果 （四）二项分布的平均数与标准差 统计学证明，服从二项分布B(n，p)的随机变量之平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系：