第三节 连续型随机变量及其分布课件.ppt

* 1.连续型随机变量取值于某一区间内的所有实数，不能一一列举； 2.连续型随机变量取任一确定值的概率等于0. 一、连续型随机变量的概率密度函数 例：考察某一段时间内某地区的气温变化；考察某批元件的使用寿命；考察旅客等车的时间；考察测量引起的误差. 此类随机变量的分布如何描述？ 显然，连续型随机变量不能像离散型随机变量那样用概率分布来描写其分布，原因有二： §2.3 连续型随机变量 先看下述例子：假设某城市人口中年龄的频率分布表如2-6所示（假设年龄这个随机变量的取值充满区间（0，90]）： 表2-6 画直方图 * 则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率分布密度函数（或分布密度函数）,简称为概率密度或分布密度或密度，记作 X~ f (x). 设X是一个随机变量，如果存在非负可积的函数 f ( x ),使得对于任意两个实数a, b(ab)都有 1.定义 2. 概率密度函数的性质 (1) f ( x ) ≥ 0 x ?（-?，+?） (2) (非负性) (归一性) 反之，对于满足非负性和归一性的任一函数f (x),均可以作为某一个连续型随机变量的概率密度函数。 利用性质(2)可以确定密度函数中的待定参数. * （1） 对任意实数 a ，连续型随机变量 X取该值的概率为 0， 即 P ( X = a ) = 0. 3. 连续型随机变量有关概率的计算 　　这是连续型随机变量与离散型随机变量截然不同的一个 重要特点.它说明，用概率分布描述连续型随机变量毫无意义. 　　上述结果还说明，一个事件的概率等于零，该事件不一定 是不可能事件；同样地，一个事件的概率等于１，该事件并 不一定是必然事件. 连续型随机变量的密度函数与离散型随机变量的概率函数相对应，以后，求随机变量的概率分布时，离散型就指分布律，连续型就指密度函数. * x O a f(x) b (2) 解： 　　　 kx+1, 0 ? x ? 2 f( x)= 0 , x 2 或 x 0 (1) 求：(1)常数k (2) P(1.5? X2.5) . 例1 已知随机变量X 的密度函数 k = -1/2 （2） P(1.5? X2.5) 例2 (课本P77例2.3.2) 例3 (课本P77例2.3.3) 设连续型随机变量X的概率密度函数为 确定A的值，并计算 解 由概率密度函数的性质，有 称概率密度函数为 的分布为 柯西（Cauchy）分布. 注2.3.3 要计算连续型随机变量在某一区间 (a,b)上取值的概率，只需要将概率密度函数 f (x)在区间(a,b)上求定积分即可.这个概率的几何意义是由x=a, x=b, y=0, y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.(见课本P78图2-4) * 定义 若连续随机变量X 的密度函数为 则称X服从区间 [a，b]上的均匀分布. b a o x f (x) 密度函数图形 对任意满足 a ? c d ? b 的 c , d 有: 该式说明，随机变量 X 落入 [a , b] 中任一小区间的概率与该区间的长度成正比，而与小区间在 [a , b] 上的具体位置无关. 所以均匀分布又称等概率分布. 二、连续型随机变量的常见分布 1. 均匀分布 记作X~U[a, b]. 显然 * 例1 某公共汽车站从上午7时起,每隔15分钟来一辆车，若 某乘客从7点到7点30分内到达车站是等可能的 ，试求他候车不 超过5 分钟的概率. 解：设乘客于7点过X分钟到站,则X服从[0, 30]上的均匀分布. X的密度函数为 所求概率为： f (x) = 1/30 0 ? x ? 30 0 x 0 或 x 30 * 例2 某公共汽车站，甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车的时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布。求3人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率. 解：设一个人等车的时间为随机变量X， 则X?U[0，5]. X? f (x) = 1/5 0 ? x ? 5 0 其它 而一个人的等车时间不超过2分钟的概率为 设三人中等车时间不超过2分钟的人数为Y，则Y?B(3, 0.4). * 定义 若连续随机变量X 的密度函数为 其中 ? 0 为常数，则称X服从参数为 ? 的指数分布. 指数分布常可作为各种“寿命”分布的近似，如电子元 件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话