专题5 角平分线四类常见辅助线的作法（解析版）.pdf

专题5角平分线四类常见辅助线的作法（解析版）

角平分线四大添加辅助线的方式

类型一过角平分线上的点向角的一边作垂线段

典例1（2023春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．

（1）求∠ADC的度数．

（2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．

【思路引领】（1）根据三角形内角和求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再利用外角的性质

求解；

（2）根据垂线段最短得到当DF⊥AC时，DF最小，再利用角平分线的性质求出DF＝DE＝5．

【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，

∵AD是△ABC的角平分线，

1

∴∠=∠=×70°=35°，

2

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°；

（2）∵点F是AC上的动点，

∴当DF⊥AC时，DF最小，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DF＝DE＝5．

【总结提升】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角

的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识．

针对训练

1．（2022春•二七区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝20，

△ABD的面积为60，则CD长（）

A．12B．10C．6D．4

【思路引领】过D点作DH⊥AB于H，如图，先根据三角形面积公式计算出DH＝6，然后根据角平分线

的性质得到CD的长．

【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，

1

∵S△ABD=DH•AB＝60，

2

2×60

∴DH==6，

20

∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，

∴DH＝DC＝6．

故选：C．

【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

2．（2023•雁塔区校级开学）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝16，AD是△ABC的一条角平分线．若

CD＝5，求△ABD的面积．

【思路引领】根据角平分线的性质得DE＝CD，再根据三角形的面积公式求解即可．

【解答】解：作DE⊥AB于点E，

∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，CD＝5，

∴DE＝CD＝5，

∵AB＝16，

1

∴△ABD的面积为×5×16＝40．

2

【总结提升】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．

3．（2023•惠州二模）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长．

【思路引领】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE＝

CF，结论得证；

（2）证明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB．

【解答】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．

∵CE⊥AD，

∴∠DEC＝∠CFB＝90°，

∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，

∴∠D＝∠CBF，

在△CDE与△CBF中，

∠=∠

∠=∠

=

∴△CDE≌△CBF（AAS），

∴CE＝CF，

∴AC平分∠DAB；

（2）解：由（1）可得BF＝DE＝4，

在Rt△ACE和Rt△ACF中，

=

，

=

∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），

∴AE＝AF＝10，

∴AB＝AF﹣BF＝6．

【总结提升】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全

等三角形．