角的平分线问题中常见的作辅助线的方法.doc

角的平分线问题常见的作辅助线的方法 河大附中 桑静华 在全等三角形一章中角的平分线的性质和判定定理有着广泛的应用，有关角平分线的问题常见的作辅助线的方法有两种：（1）过角平分线上一点向角的两边作垂线；（2）用“截长补短法”来构造全等三角形。在无法进行直接证明的情形下，利用作辅助线的方法方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。 一、过角平分线上一点向角的两边作垂线，运用角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等解决问题 例1、三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．需要用到角平分线的判断定理，离不开角平分线上的点到两边的距离，所以想到过点I分别做三边的垂线。 已知：如图，△ABC的角平分线AD与BE交于点I， 求证：点I在∠ACB的平分线上． 证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F． ∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC ∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF（等量代换） 又IG⊥AC、IF⊥BC ∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点． 已知：如图OC平分∠AOB，∠AOB=30°， P是OC上一点，PE∥OB，PD⊥OB,PE=2，求PD的长。 分析：直接求PD长无从下手， 由角平分线性质可想到过P做AC的垂线段PF， 进而转化为求PF的长。 再由直角三角形中30°所对的直角边等于斜边一半 的性质，即可解决问题。 解：过P做PF⊥AO于F点 ∵PE∥OB，∴∠FEP=∠AOB==30°, ∴PF=PE=1 又∵PD⊥OB, PF⊥AO, OC平分∠AOB ∴ PD=PF=1 二、截长补短法构造全等三角形 如图2-1，在四边形ABCD中， BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠BCD=180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过证全等三角形中的对应角相等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造全等三角形，可通过过D点做两边的垂线或者“截长补短法”证明. 证法一：此法关键在于通过过角平分线上一点作垂线段进而应用角平分线的性质来构造全等直角三角形。 证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2 ∵BD平分∠ABC，∴DE=DF， 在Rt△ADE与Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL), ∴∠DAE=∠DCF. 又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°， 即∠BAD+∠BCD=180° 证法二：用截长法来构造全等三角形 证明：在BC上取点E,使BE=AB, 在△ABD和△EBD中， ∴ △ABD≌△EBD（SAS） ∴ ,AD=DE, 又∵AD=CD, ∴DE=CD, ∴ , ∵ ∴ . 此题还可用补短法来证明，在BA的延长线取点F,使BF=BC,证法方法类似，略。 三、以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形，此法常用于有角平分线和垂直同时出现的情况． 例4、如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD． 分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等． 证明：延长BA、CD交于点F ∵BD⊥CF（已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠1=∠2 在△BCD和△BFD中 ∴△BCD≌△BFD（ASA） ∴CD=FD， 即CF=2CD ∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。∴∠1=∠3。 在△ABE和△ACF中 ∴△ABE≌△ACF（ASA）∴BE=CF， ∴BE=2CD。 图1-1 图1-2 E D C 图1-3 C B A B A O F E D P