4辅助线作法--运用角平分线_1411472.docx

三.借助角平分线造全等1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2：（06郑州市中考题）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.中考应用:（06北京中考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形：①过角平分线上一点作两边的垂线段练习：如图22，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：AE=ED．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例6： 如图23，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例7： 如图24，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD．分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形． 图25例11 如图26，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．求证：CD=BE．练习：1．如图27，在△ABC中，∠B=90o，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，DE=DC．求证：BE=CF． 2．已知：如图28，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．求证：（1）AD是∠BAC的平分线；（2）AB=AC． 图283．在△ABC中，∠BAC=60o，∠C=40o，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．求证：AB+BP=BQ+AQ． 图294．如图30，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．求证：∠C=2∠B． 图305． 已知，E为△ABC的∠A的平分线AD上一点，AB＞AC．求证：AB-AC＞EB-EC． 6．如图32，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC． 求证：∠A+∠C=180o．7．如图33所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E作交AD于点D，交BC于点C．求证：AD+BC=AB． 8．已知，如图34，△ABC中，∠ABC=90o，AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：CD=AE． 9．△ABC中，AB=AC，∠A=100o，BD是∠B的平分线．求证：AD+BD=BC． 10．如图36，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（　）A．9 B．8 C．7 D．6图3611．如图37，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，且D是BC的中点．求证：AB=AC． 图3712．已知：如图38，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC的中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F．求证：BM=CF．