1.9 辅助线的作法之角平分线模型构造.pptx

辅助线的作法 ——角平分线模型知识要点 A角平分线性质：①角平分线上的点，到角两边的距离相等.M1 ②角内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上（逆运用）P2OBN典型例题如图，若OP是∠AOB的角平分线，PE⊥OA，可过P点作PF⊥OB.则有结论：E（1）PE=PF.（2）证得△OPE≌ △OPF.PA（3）OE=OF.F图中有角平分线，可向两边作垂线BO典型例题例1. 如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线. 求证：BC=AB+AD.证明：过D作DE⊥BC于E∵ ∠A=90°， BD是∠ABC的平分线∴ DE=AD，BE=AB又∵A=90°, AB=ACA∴ △ABC为等腰直角三角形45°21∴ ∠C= 45°45°∵ DE⊥BCD∴ ∠CDE= ∠C = 45°E∴ DE= CE ∴ BC= BE+EC=AB+AD BC典型例题例2. 如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD,求证： E点在∠FAC的平分线上 .证明：F过E作EM⊥BD于M，过E作EN⊥BF于N,过E作EH⊥AC于H,连接AE.N∵ BE平分∠ABC ∴ EM=EN∵ CE平分∠ACD ∴ EM=EH，∴ EN=EHEAHM∴ E点在∠FAC的平分线上BCD典型例题如图，若OP是∠AOB的角平分线，可在OB上取OF=OE.则有结论：E（1） △OPE≌ △OPFAP（2） PF=PE，OF=OE.（3）∠PFO=∠PEO， ∠OPF=∠OPEF截长补短在角边，对称以后关系现BO典型例题例3. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB+DC.证明：在BC上截取点E，使BE=BA，连接DE∵ BD是∠ABC的平分线∴ ∠1=∠2，又∵BD为公共边∴△ABD≌△EBD（SAS）108°A36°∴ ∠BED=∠A=108°∴ ∠DEC=72°1272°108°72°又∵A=108°, AB=ACD∴ ∠C=∠ABC=36°E∴∠EDC=∠DEC=72°∴EC= DC ∴ BC= BE+EC=AB+DC BC典型例题例4. 如图，已知AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD 和∠ADC，求证：AD=AB+ CD.证明：在AD上截取点D，使AF=AB，连接EF∵ ∠1=∠2 ，AE为公共边∴△ABE≌△AFE（SAS）∴ ∠B= ∠5F∵ AB∥CD ∴ ∠B+∠C=180°∵ ∠5+∠6=180°∴∠C= ∠6CD164253E∵ ∠3=∠4 ，DE为公共边∴△CDE≌△FDE（SAS）∴ CD= FD∴ AD= AF+FD = AB+CDBA典型例题如图，若OP是∠AOB的角平分线，过P点作OB的平行线交OA于E点.则有结论：E△EOP是等腰三角形AP角平分线平行线，等腰三角形来添OB典型例题例5. 如图，DE=EC，DF//BA， DF=AC，求证：AE平分∠BAC.证明：延长FE到M，使EM=FE，连接CM则△CEM≌△DEF (SAS)∴ ∠M=∠1，CM=DFA∵ DF=AC ∴AC=CM∴∠2=∠M∴∠2=∠1321F∵ DF//AB∴∠1=∠3，∴ ∠2=∠3ECBD∴AE平分∠BACM典型例题如图，若OP是∠AOB的角平分线，EP⊥OP，则可延长EP交OB于F点.则有结论：EAP（1）证得△OEF是等腰三角形（2）P是EF中点F角平分线加垂线，三线合一等腰现BO典型例题例6. 在RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE⊥DE的延长线，∠1=∠2，求证：BD=2CE.证明：延长BA，CE交于点FF∵ CE⊥DE∴∠1+∠F= ∠3+∠F=90°∴∠1=∠3又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°∴△BAD≌△CAF（ASA）∴ BD= CF123EA又∵ ∠1=∠2 ，BE⊥CE ∴ △BCF为等腰三角形 ∴ CE= CF = BD ∴ BD=2CE?DFBC模型总结关于角平分线模型，可从以下四个方面来构造辅助线EEEPEPPPAAA（1）（2）（3）（4）AF（1）图中有角平分线，可向两边作垂线F（2）截长补短在角边，对称以后关系现F（3）角平分线平行线，等腰三角形来添（4）角平分线加垂线，三线合一等腰现BBBBOOOO