专题11 等腰三角形与其他知识的综合（解析版）.pdf

专题11等腰三角形与其他知识的综合（解析版）

类型一等腰三角形与平行线、角平分线的综合

1．（2022秋•洛江区期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点

D，交AC于点E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（）

A．△DBI和△EIC是等腰三角形

B．DI＝1.5IE

C．△ADE的周长是8

D．∠BIC＝115˚

【思路引领】由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△IDB和△IEC是等腰三角形，

所以BD＝DI，CE＝EI，△ADE的周长被转化为△ABC的两边AB和AC的和，即求得△ADE的周长为

8．

【解答】解：∵BI平分∠DBC，

∴∠DBI＝∠CBI，

∵DE∥BC，

∴∠DIB＝∠IBC，

∴∠DIB＝∠DBI，

∴BD＝DI．

同理，CE＝EI．

∴△DBI和△EIC是等腰三角形；

∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；

∵∠A＝50°，

∴∠ABC+∠ACB＝130°，

∴∠IBC+∠ICB＝65°，

∴∠BIC＝115°，

故选项A，C，D正确，

故选：B．

【总结提升】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形

结合思想与转化思想的应用．

2．（2019秋•南宫市期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC于

点F．求证：△FEC是等腰三角形．

【思路引领】利用平行线以及角平分线的定义证明∠2＝∠3，再根据等角的余角相等证明∠4＝∠5即可

解决问题；

【解答】证明：如图，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

∵EF∥AB，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∵CE⊥AD于点E，

∴∠AEC＝90°，

∴∠3+∠4＝90°，

∴∠2+∠5＝90°，

∴∠4＝∠5，

∴FE＝FC，

∴△FEC是等腰三角形．

【总结提升】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知

识，属于中考常考题型．

3．（2020秋•延边州期末）如图，等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．

（1）如图，点E为AB的中点，求证：AE＝DB．

①

（2）如图②，点E在边AB上时，AE＝DB（填：“＞”，“＜”或“＝”）．

理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）．

（3）在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若AB＝1，AE＝2时，直

接写出CD的长．

【思路引领】（1）根据等腰三角形的三线合一得到CE为∠ACB的平分线，证明BD＝BE，等量代换证

明结论；

（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明△DBE≌△EFC，根据全等三角形的性质证明；

（3）分点E在AB的延长线上和点E在BA的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答．

【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，点E为AB的中点，

∴CE为∠ACB的平分线，

11

∴∠BCE=∠ACB=×60°＝30°，

22

∵ED＝EC，

∴∠D＝∠DCE＝30°，

∵∠ABC＝60°，∠D+∠DEB＝∠ABC，

∴∠DEB＝30°，

∴BD＝BE，

∵AE＝BE，

∴AE＝BD；

（2）解：AE＝BD，

理由如下：如图②，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ACB＝∠ABC＝60°，

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠ABC＝∠AFE＝∠ACB＝60°，

∴△AEF为等边三角形，

∴AB＝AC，

∴BE＝CF，

∴∠DBE＝∠EFC＝120°，

∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECB，

∴∠D+∠DEB＝∠ECB+∠ECF＝60°，

∴∠DEB＝∠ECF，

在△DBE和△EFC中，

=

∠=∠，

=