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第三章 非线性微分方程动力系统的简化 在非线性微分方程动力系统研究中，很自然地期望有一些有效的方法使原系统降阶或简化，井能保持原系统的动态特性。目前，现有的知识主要有中心流形、范式、奇异摄动及精确线性化等。本章将简要地叙述相关方面的基本内容 3.1中心流形 3.1.1中心流形的基本定理 本节考虑以下形式非线性微分方程系统 其中，假定和是具有相应维数的常数矩阵，并且的所有特征值具有零实部，的所有特征值具有负实部。函数和关于其变元皆二阶连续可微，且；(注： 和是它们各自的雅可比矩阵)。 定义3.1 一个集合（流形）被称为系统(3.1)的局部不变流形(Local invariant manifold)是指，对任何的系统(3.1)的初值为的解始终在集合内，其中，为某正数。进而，如果，，那么就称为不变流形(invariant manifold)。 定义3.2 如果是系统(3.1)的一个不变流形，并且为光滑函数，，，那么它被称为中心流形（centre manifold）。 对于系统(3.1)，我们有， 定理3.1 对系统(3.1)而言，若，，和满足假设条件，那么存在一个中心流形，其中 (为某一个正数)，且。 证 今为函数，取值为 又设 其中。 首先，将证明系统 有一个中心流形，充分小。 让为一类李氏函数的集合：该类函数具有李氏常数，和。于是，在采用上确界范数时，是一个完备空间。 对，，设是以下方程的解： 同时，定义一个新的函数如下 于是，如果是(3.4)的一个不动点的话，就是(3.2)的一个中心流形。为证明(3.4)不动点的存在，可以从求证对和充分小的，是上的压缩映射而得到。 根据与的定义，存在一个连续函数，且，使得 对所有成立。 因为所有特征值具有负实部，所以存在正常数和： 同样，由于的所有特征具有零实部，对每个常数总存在常数，使得且 如果 那末就可以利用(3.4)来估计和类似项，以下总假设 。 从式(3.4)有 同样由式(3.3)也可以得到 其中。 于是，Gronwall不等式表明 其中， 故 其中和充分小使得。 类似地，对 便有 适当选取和后，式(3.6)，(3.7)和(3.8)表明是上的压缩映射。从而证明了式(3.2)有—个中心流形。进而，从式(3.2)的定义可知对充分小的式(3.1)有一个中心流形。 对于为类的证明可参考[2]。 注2.1：从以上证明可知该中心流形是局部中心流形，通常记为 。 注2.2：类似地可得到以下系统具有一个全局的不交流形，即系统 其中和假设如定形系统（3.1），具有—个全局的不变流形，其中，， ，且，是一个与和有关的常数。 在证明了中心流形的存在性之后却无法给出一个计算的过程。 当然，对非线性系统而言，精确地求解中心流形的解析式往往是不可能的。以下定理给出了可达任意精度的近似计算方法。 定理3.2 设函数为函数，定义于原点的—个邻域内。并且。让 假设，那末 为系统(3.1)的一个中心流形。 证：让是一个连续可微函数，且，很小。 又设 其中和如同定理1.1中所定义。于是有 在定理3.1中，已证明是压缩映射的—个不动点。让为一个映射：，其定义域为的一个闭子集，于是也是一个上的压缩映射。 让，显然，如果能够找出一个，使得内射，该定理就己得以证明。 为此：我们将分两步去实施寻找。首先，寻找映射的另一种形式： 对而言，让为以下方程的解： 于是从式( 另则 故 报据的定义和以上计算有 其中 为式(3.9)的解。 第二步是证明对某个，是至的映射。 适当选择，使得，。由于 其中为—个常数，以及，的Lipschitz性质，满足Lipschitz条件，故可设存在一个连续函数，使得 其中。 从如同定理3.1证明中的计算可知，如果是(3.9)的解，那么对每个，都有一个常数使得 其中。于是 和充分小使得。 选取充分大而充分小，那么，从而本定理得征。 在获得了中心流形存在性和近似计算的结论后，可以得到一个低维的控制方程为 其中。但是，一个很显然的问题是原方程的解与低级控制方程的解之间存在着什么关系呢？以下定理将给出部分的结论，在下一章中将叙述另一部分的结论。 定理3.3 假设系统(3.10)的零解是稳定的，又设是(3.1)的解，且充分小。那么存在系统(3.10)的一个解，使得当时有 其中是一个常数。 在证明本定理以前，先介绍以下两条引理。