非线性微分方程与动态系统.pdf

第三章 非線性微分方程與動態系統 第一節 非線性微分方程與動態系統 非線性系統的研究最早可回溯自物理學中的流體力學，之後被應用至生物學 與生態學，探討某個地區的生態平衡，本文因此也計畫使用非線性微分方程動態 模型，希望能為人口學提供不同的思考角度。在套用這個方法時，將不事先設定 模型的型態，而是著重在目標的研究對象 (subject)在不同時間的變化，再由微分 方程對此變化的描述求解並建立非線性模型。雖然人口的變化必須兼顧出生、死 亡與遷移，我們先簡化研究範圍，只探討出生與死亡的情形，將研究心得及結果 政 治 作為未來建立完整模型的參考。 大 立 學 如果研究的對象（例如：生育率、死亡率）記為 u(t) ，一般的非線性微分方 國 程問題可表達為： du ‧ ‧ f (t ,u ) ， dt N y 也就是 u(t)對時間微分後是一個時間與 u(t)的函數，通常會給定一個 u(t)的初始 a t t i i s o 條件 (initial condition)u (u0) 0 。許多傳統的人口模型，都可視為一個微分方程， r n e a v 例如：以羅吉斯函數刻劃人口數。 i l C n h U engchi 10    第二節 非線性微分方程二次逼近法求解 在第二章所介紹的羅吉斯成長模型，可以看出羅吉斯函數的微分方程式求解 比較容易，因為函數有封閉解(closed-form solution) ，然而實際問題的解通常無法 由函數表示，即使可表為函數型態，經常都是非線性函數。若方程式的解屬於非 線性函數，一般的處理方法是以一次（線性）函數近似，但通常只有在某些情形 （例如：求解的點接近某些已知的時間）有不錯的近似值，很難保證有較一般化 的結果。本文提出「二次逼近法」求解，亦即加入二次式，以期獲得較佳的近似 結果： dv(t) 2 A(t)(v(t) −u ) +B (t)(v(t) −u ) +C(t) , v(t ) u(t ) (1) 0 0 0