《常微分方程》,V,I,阿诺尔德,高清版.pdf
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[B·N·阿诺尔德] 经典力学的数学方法.pdf
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§微分方程与微分方程建模法.doc
第三章 微分方程模型
3.1微分方程与微分方程建模法
一、 微分方程知识简介
我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。
常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
初等积分法：
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《微分与微分方程》课件.ppt
*********************二阶常系数非齐次线性微分方程的应用1受迫振动2电路受迫振荡3控制系统二阶常系数非齐次线性微分方程在受迫振动、电路受迫振荡、控制系统等领域有广泛的应用。例如，在受迫振动问题中，可以使用二阶常系数非齐次线性微分方程来描述物体在外部驱动力作用下的振动行为。通过求解方程，可以分析系统的响应特性和稳定性。高阶微分方程1定义2形式3求解高阶微分方程是指包含未知函数的高阶导数的微分方程。高阶微分方程的形式比较复杂，求解难度也较大。但是，对于一些特殊类型的高阶微分方程，例如常系数线性微分方程，可以使用特定的方法进行求解。高阶微分方程在物理、工程等领域有重要的应用。常系
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微分方程-讲义2.pdf
伯努利方程
我们将形如
30
+.!=M!⋅
3!
的方程称为伯努利方程；
当N=0,1，方程是线性微分方程；
当N≠0,1，方程是非线性微分方程；
令G=$+0，则原方程可写成
新的一阶线性方程
3G
+1−N.!G=(1−N)M(!)
3!
=
Y(n=名)
←
u/
装+Px)Y=Q×)⽼例.装⼀π⼦=x唔
1
-ydyy
~
atgy…p=θ→以装jw=x
x,
六θ-^=
炎
-
微分方程-讲义1.pdf
第十章
微分方程
人口增长问题
由于人口的总数很大，可用一个连续模型来描述.假设在某时
刻-时某国家的人口总数为.-，它是一个关于时间连续可
微的函数.
讨论可得，
d.-
=0.-，
d-
其中0=1−3为人口的净增长率.
含有未知函数.(-)的方程
1
做分⾄含有未知致看作⼗=⼗☆未知
及其以分的等式
j=x
(t+x)dt+xdx=0
1
两边积台
t王x
-
=
毙x^
Y=X是⽅程
看作x=X(t)未⼝的⼀个解
或者
唯⼀?并不是
+xUxy
x=
t)t+0
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微分方程-讲义3.pdf
二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性齐次方程：
!!+S!+[=0(∗)
设其解的形式为=EC%，其中\为待定常数，将其代入得
\#+S\+[=0特征方程
事实上，\是特征方程的解等价于=EC%是方程(∗)的解.
因此，特征方程的根的不同形式，决定了二阶常系数线性齐
次方程的通解的不同形式.
(r为待定)
P
1
⼀般→q次y=erx为解,Y
+
yP(x)y+Qxy=0
^**
1
^*
r
只能分析结构re+prertqe=0
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求解微分方程.ppt
?本节讨论一阶线性微分方程(1)(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。Q(x)?0时称为一阶非齐次线性微分方程，Q(x)?0时称为一阶齐次线性微分方程。第23页，共76页，星期日，2025年，2月5日分离变量法这里表示P(x)的任一原函数。(3)一阶齐次线性方程(2)的解法得方程(2)的通解注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。第24页，共76页，星期日，2025年，2月5日常数变易法，令一阶非齐次线性方程(1)的解法第25页，共76页，星期日，2025年，2月5日用常数变易法解非齐次方程的步骤：1.求出相应的齐次方程的通解；2.将通解中的任意常数C变为函数C(x)，然后代入非
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微分方程数值解.ppt
偏微分方程数值解主要是有限差分法和有限元法。偏微分方程发展史：(1)十八世纪初,Taylor:(2)十九世纪中期，三类偏微分方程：(3)十九世纪末到二十世纪初，其它方程：高阶方程：KDV方程：如果能找到一个（或一族）具有所要求阶连续导数的解析函数，将它代入微分方程（组）中，恰好使得方程（组）的所有条件都得到满足，我们就将它称为这个方程（组）的解析解（也称古典解）。“微分方程的真解”或“微分方程的解”就是指解析解。寻找解析解的过程称为求解微分方程。微分方程的解在数学意义上的存在性可以在非常一般的条件下得到证明，这已有许多重要的结论。但从实际上讲，人们需要并不是解在数学中的存在性，而是关心某个定义
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CH微分方程.doc
第十二章 微分方程
院系 .班级 .学号 .姓名 .
选择题
1．函数(其中是任意常数)是微分方程的（ ）
通解; 特解; 不是解; 是解,但即不是通解也不是特解;
2．微分方程的隐式通解为（ ）
3．设二阶导数连续且满足微分方程，是的一个极值点,
则（ ）
在的某邻域内是凹函数; 在的某邻域内是凸函数;
在的某邻域内单增; 在的某邻域内单减;
4．关于Bernoulli方程的
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第6章 常微分方程.ppt
第六章 常微分方程 6.1 微分方程的基本概念 一.? 两个例子 例6.1.1 已知一曲线过点A(1,3),且该曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x,求此曲线的方程。 例6.1.2 质量为m的物体从空中自由落下,若略去空气的阻力，求物体下落的距离s与时间t的函数关系s ? s(t)。 二.? 微分方程的几个概念 1.??微分方程 2. 微分方程的阶 3.??微分方程的解 4.??微分方程的通解 5.? 微分方程的特解 6.? 初始条件 6.2??一阶微分方程 6.2.1 可分离变量的微分方程 例6.2.1 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中,细胞的繁殖率与细菌的数目成正比,若t
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微分方程的多解变号解.doc
微分方程的多解与变号解
【摘要】：偏微分方程解的存在性与多重性是非线性分析的一个重要研究内容,有着广泛的背景,它来源于物理、生物工程、化学和医学等领域.近年来,许多学者对偏微分方程进行了研究,例如利用变分方法和临界点理论研究了各种Schrodinger方程解的存在性与多解性.这些研究都进一步促进了非线性分析的发展.本文利用变分方法、Morse理论、临界点理论、拓扑度理论研究了几类偏微分方程的解与变号解.本文分为五章.第一章,我们介绍一些研究背景,国内外研究现状及本文的一些主要结果.第二章中,我们对经典椭圆方程Dirichlet边值问题进行了研究,其中Q(?)RN是具有光滑边界的有界区域,fC1
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常微分方程习题8).doc
常微分方程期终试卷(13)
一、选择题
1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2
2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件．
（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分
3. 方程过点共有（ ）个解．
（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三
4．方程（ ）奇解．
（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个
5．方程的奇解是（ ）．
（A） （B） （C）
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常微分方程讲义一).doc
常微分方程讲义（一）
课程目标：
掌握常用的常微分方程解题技巧；利用常微分方程的思想建模。
上课方式：
课堂讲授、练习与考试。
课程特点：
承接高数、微积分、数学分析等课程而来，与导数、积分的关系非常紧密，在经济数学中有广泛的应用；常与其他数学工具与方法混合使用。
参考书目：
《常微分方程》，蔡燧林编著，武汉大学出版社，2003；及所有标注有“常微分方程”、“应用”、“经济数学”、“金融数学”的教材与专著。
为什么在模拟经济变化时要引入常微分方程？
注重刻画在无穷小时间段内的变量的动态变化，实现了从“静态”向“动态”的飞跃。
微分方程比初等函数更近于现实，更真于模拟。
什么是方程
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常微分方程习题1).doc
常微分方程试题
班级： 学号： 姓名：
填空题（30%）
1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ ）。有只含的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是____
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《常微分方程》(版)——答案.doc
常微分方程
2.1
1.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得
并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得：
3
解：原式可化为：
12．
解
15．
16．
解：
，这是齐次方程，令
17.
解：原方程化为
令
方程组
则有
令
当当
另外
19. 已知f(x).
解：设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得
20.求具有性质 x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。
解：令t=s=0 x(0)== 若x(0)0 得x=-1矛盾。
所以x(