高等代数课件(北大版)线性方程组.PPT

4.1 消元法 4.1.3用消元法解线性方程组 这个方程组永远有解：显然 就是方程组（8）的一个解，这个解叫做零解。如果方程组（8）还有其它解，那么这些解就叫作非零解。 齐次线性方程组永远有解. 4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件 定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。 证 当 时，方程组只有唯一解，它只能是零解。 当 时，方程组有无穷多解，因而它除零解 外，必然还有非零解。 推论4.3.3 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：方程组的系数行列式等于零。 因为在这一种情况，方程组系数行列式等于零就是说，方程组的系数矩阵的秩小于n. 推论4.3.4 若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组一定有解。 因为在这一情况，方程组的系数矩阵的秩r不能超过m，因而一定小于n . 1.内容分布 4.4.1结式与多项式的公根 4.4.2多项式的判别式 2.教学目的: 了解多项式有公根的判别 了解多项式的判别式的定义 3.重点难点: 多项式有公根的判别 4.4 结式和判别式 4.4.1结式与多项式的公根 假设 在C 内有公根 依次用 乘第一个等式,用 乘第二个等式,我们得到以下 个等式: 这就表明, 是一个含有 个未知量, 个方程的齐次线性方程组的非零解,因此系数行列式: 必须等于零. 行列式D叫做多项式 的结式,并且用符号 来表示. 结式 不但 有公根时等于零,而且当 时显然也等于零.于是就得到 定理4.4.1 如果多项式 定理4.4.2 设 (i) 如果 而 的全部根,那么 (1) 有公根,或者 ,那么它们的结式等于零. 是复数域C上多项式. 是它们的结式. (ii) 如果 ,而 的全部根,那么 (2) 证 我们对m 作数学归纳法来证明公式(1)。先看m=1的情形，这时 的根是 。而 把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第二列乘以 加到第三列上，…，最后，把新的第n列乘以 加到第n+1列上，这时行列式中元素 都被消去，而最后一行的元素依次等于 因此 假设当 时公式（1）成立。我们看 的情形，这时 令 的全部根。那么 这里 是一个k次多项式，它的根是 比较 的系数，我们有 因此 把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第二列乘以 加到第三列上，……，最后,把第n+k列乘以 加到第n+k+1列上，并且注到 我们得到 把这个行列式依最后一列展开，我们有 再依次把第n+2行乘以 加到第n+1行，把第n+3行乘以 加到第n+2行，……最后，把第n+k+1行乘以 加到第n+k行，于是 这里 是位于最后的行列式左上角的n+k阶行列式，它恰是多项式 的结式，因此由归纳法的假设， 于是 公式（1）被证明。 容易看出，通过适当对调行列式D的行，可以得到 （3） 因此，如果 而 是 的全部根，那么由（1）可得（2）。 定理4.4.3 如果多项式 的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数都等于零，或者这两个多项式有公根。 证 设 ，如果 ，那么由（1），一定有某一 ，从而 是 的一个公根，如果 那么由（2）也可以推出 有公根。 例1 多项式 的结式是 如果 。以 乘第一行加到第三行，然后按第一列展开，得 如果 ，同样的计算也可以得到上面的等式。当 时，上面的展开式的右端等于零，不论在任何情形，上面的展开式都成立。 例如，