第一章_多项式.ppt

* 高等代数 这些首项必须满足以下条件： 每个 的首项都小于f的首项，如果ij，则 的首项小于 的首项； 每一首项的指数组 满足不等式 每一首项的次数都等于4 （因为f是一个四次齐式，因此每一 也是四次齐次）； 由f的首项的指数组开始，写出满足上述条件的一切可能的指数组，以及对应的 * 高等代数 的幂的乘积，列表如下： 指数组 对应的 的幂的乘积 于是多项式f可以表成 其中a、b是待定系数，要确定a、b的值， 只要对 取一些特殊值代入即可求出。 * 高等代数 例如对例2，可以先取 对于这组值， 而 由于 得 再取 这时 故由 得 于是 2、如果所给的对称多项式不是齐次多项式， 则可以先把它写成一些齐次多项式的和，然后 * 高等代数 再对每一齐次多项式应用待定系数法。 考虑 的差积的平方 D是一个重要的对称多项式。由基本定理， D可以表示成 的多项式 由根与系数的关系知， 是 的根。 * 高等代数 于是若 则 在C上有重根，反之也成立 故 为一元多项式 的判别式。 例：设 求 的判别式。 解： 设 的根为 * 高等代数 例如： 设 则f与g的和是 相减： 设 把g的系数都换成各自的相反数，所得多项式叫做g的负多项式，记为 * 高等代数 相乘： F上两个n元多项式 与 与g的每一项相乘，然后把这些乘积相加（合并同类项）所得的多项式称为f与g的积，记为fg。 的乘积指的是，先把f的每一项 例如 则 * 高等代数 这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致，n元多项式的运算满足以下运算律：设 则 ⑴ （加法结合律） ⑵ （加法交换律） ⑶ （乘法结合律） （乘法交换律） ⑷ ⑸ （乘法分配律） 我们把F上一切n个文字 的集合，连同以上定义的加法和乘法叫做F上n个文字 的多项式所成 * 高等代数 的多项式环，记作 同一元多项式一样，也可以谈论n元多项式的次数。 设 称为单项式 的次数， 对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式f的次数，记为 设f、g是F上两个不等于零的n元多项式，则f与g的和与积的次数与f、g的次数有如下关系： 1、 2、 * 高等代数 结论1是显然的，但要证明结论2，还得先考虑多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排列法。 每一类单项式（1）都对应一个n元数组 为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了。 其中 为非负整数，这个对应是1-1的， 设两个单项式分别对应n元数组 和 * 高等代数 考虑 如果有 使 而 则称n元数组 先于数组 记为 于是对应于 的单项式就排在对应于 的单项式前面。 例如，对多项式 按字典排列法写出来就是： * 高等代数 应该注意的是， 把一个多项式按字典排列法书写后，次数较高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如上面的首项次数为4，第二项的次数为6，而 关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到 定理1.10.1： 数域F上两个非零的n元多项式 和 的乘积的首项等于这两个多项式首项 的乘积。 * 高等代数 证明： 设 的首项为 的首项为 为了证明它们的积 为fg的首项， 只要证明数组 先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。 的有序数组有三类： 中其他单项式所对应 ① * 高等代数 ② ③ 其中 于是 这证明 在乘积fg的首项。 * 高等代数 推论1.10.1： 则 的首项等于每个 的首项的乘积。 如果 推论1.10.2： 如果 则 现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来， 设 是一个n元多项式， 则称f是一个k次齐次多项式，简称k次齐次。 如果 中各项都有同一次数k， 例如 就是一个4次齐次多项式。 * 高等代数 两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和。 任何一个m次多项式 都可以唯一地表成几组齐次多项式的和，即 是i次齐次多项式， 若 就是f的一个i次齐次成分。 数域F上两个不等于零的n元多项式的 乘积的次数等于这两个多项式次数的和。 定理1.10.2： * 高等代数 证明： 设 且 它们的次数分别为m和s，把f与g分别写成齐次多项式的和： 这里 或者等于零，或者分别是i次或j次齐式 并且 于是 * 高等代数 由推论1.10.2： 且是一个m+s次齐式， 其余各项 或者等于零，或者是一个次数