第一章多项式(教案).doc

高等代数

北大三版

第一章多项式

教学目的：

了解多项式的概念，多项式的运算及运算律。

会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解。

了解多项式与对称多项式的概念。

教学重点与难点：

整除理论。

有理数域上的因式分解。

§1．数域

代数性质：关于数的加减乘除等运算性质引入：关于数的范围的讨论

定义：设P是一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，那么称P为一个数域。

另一说法：如果包含0和1的一个数集P，对于加减乘除（除数不为0）运算都是封闭的，那么称P为一个数域。

例：1．QRCZW2Z（前3个是，后3个不是）

2．R*C+（均不是）

3．＝是证明封闭

不是

4．是

重要结论：最小数域为有理数域（任何数域包含有理数域）

§2．一元多项式

一元多项式的概念

定义：设是一非负整数，是一个符号（文字），形式表达式：

其中。称为系数在数域P中的一元多项式。（数域P上的一元多项式）

=1\*GB3①记＝＝

＝＝

=2\*GB3②其中称为的次项为次项系数。

=3\*GB3③，则为的首项为首项系数，为的次数。记。

=4\*GB3④所有系数均为0的多项式称为零多项式，记0（唯一不定次数）

=5\*GB3⑤＝除去系数为0的项外，同次项系数均相等。（注意0多项式与0次多项式的区别）

二．多项式的加、减、乘运算及运算律

设＝＝

＝＝

补充系数为0的项，使与具有相同多的项数后

＝＝＋，均不为0多项式

算律：1．加法交换律

法结合律

乘法交换律

乘法结合律

乘法对加法的分配率＝

乘法消去律且，则（则）

三．一元多项式环的概念

所有系数在数域P中的一元多项式的全体，记P为系数域

常用数学归纳法：关于自然数的命题

=1\*GB3①当初始值时，命题成立

=2\*GB3②假设小于或等于时，命题成立，往证时，命题成立

反证法：=1\*GB3①假设结论成立

=2\*GB3②按照正确分析，综合方法，退出与已知或事实矛盾的结果

=3\*GB3③结论成立

§3．整除的概念

一．带余除法

引例

于是

商式余式

带余除法定理：

对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的，存在，使成立。

其中或者＝0，并且与是唯一确定的。

证明：（讲解思路与方法，学生阅读）

中是商式，是余式。

二．整除

定义：如果存在，使成立。那么称整除，记做。?表示不能整除

=1\*GB3①整除时称为因式，为倍式

=2\*GB3②时，除的余式＝0

=3\*GB3③有意义且0只能整除0多项式。零次多项式只能被零次多项式整除。

（）

性质：

1，为非零常数

2，

3，，其中是任意多项式。分别证明之。（1详，23略）

结论：=1\*GB3①与具有相同的因式与倍式，讨论时可互相替代。

=2\*GB3②两个多项式的整除关系不引文为系数域的扩大而改变。

作业：44－2（2）34（2）

§4．最大公因式

一．最大公因式

公因式：，则称是，的一个公因式

定义：对于，若满足：

=1\*GB3①是，的公因式

=2\*GB3②是，的公因式，有，则称是，的一个最大公因式。

引理：，那么，和，有相同的公因式。

存在性：=1\*GB3①

=2\*GB3②，

=3\*GB3③，时定理：对于，，一定存在，且可表示成，的一个组合，即

证：，与，有相同的公因式

，与，有相同的公因式

＝，与，有相同的公因式

＝

＝

又因，故有限次必可整除，即，于是是，的最大公因式。又由＝－回推至最后即得得证。

唯一性：=1\*GB3①若是，的公因式，则也是。为任意非零常数。

=2\*GB3②令取首项系数是1的最大公因式，则唯一。记做

求法：辗转相除法。

练习：=1\*GB3①，

=2\*GB3②，

例，，求

且表成形式