专题一 遇中点怎么作辅助线.pdf
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微专题7与中点有关的辅助线作法
1.[2024北京通州区一模」如图，将线段AB绕点A逆时针旋转α(0°
(1)∠EDC=(用含α的代数式表示).
(2)连接BD,取BD的中点F,连接AF,EF,NF.
①依题意补全图形；
②若AF⊥EF,用等式表示线段NF与CE间的数量关系，并证明.
2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,D为边BC上一动点,点E在边AC上,CE=CD.点D关于点B的对称点为点F,连接AD,P为AD的中点,连接PE、PF,EF.
(1)如图1，当点D与点B重合时，直接写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系.
(2)如图2,当点D与点B,C不重合时,请问
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11.1垂径定理
知识储备
1.垂径定理的相关知识
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.数学语言表述如下：
①CD是直径,②CD⊥AB③AM=BM,④
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.数学语言表述如下：
(3)垂径定理及相关命题如下表所示：
条件
结论
命题
①②
③④⑤
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
①③
②④⑤
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
①④
②③⑤
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
①⑤
②③④
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专题九遇到相似怎么作辅助线
9.1作平行线构造A,8字型
知识储备
1.相似三角形
(1)性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等.
(2)判定：两角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；直角三角形中的一条直角边和斜边分别对应成比例，两三角形相似.
2.平行线与相似的关系
(1)平行线分线段成比例定理：一组平行线在两条直线上所截得的线段对应成比例.
(2)平行与相似：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.
A,8型
倒A,倒8型
基本图形
辅助线作法
过三角形一边上的点或一边延长线上的点作某一边的
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专题六遇到垂直(直角)怎么作辅助线
6.1面积法求长度
知识储备
面积法
(1)直角三角形的面积：两直角边的乘积除以2，或斜边乘斜边上的高除以2.
(2)平行四边形的面积：底边与高的乘积.而平行四边形的两组对边的边长不同，所以有两种计算面积的方法.
如图1,S平行四边形ABCD=BC·AE=CD·AF.
(3)菱形的面积：底边与高的乘积，或菱形对角线乘积的一半.
如图2,S菱形
(4)矩形的面积：长乘宽，即矩形任意两邻边的乘积.
(5)正方形的面积：正方形是特殊的矩形、菱形，故可用求矩形或菱形的面积的方法求正方形的面积，故正方形的面积等于边长的平方或对角线平方的一半.
基本图形
已知条件
在△
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专题八遇到图形旋转怎么作辅助线
8.1等腰三角形旋转
知识储备
1.等腰三角形旋转的应用
(1)利用旋转定义确定等腰三角形.
(2)利用三角形全等及等腰三角形的性质证明线段相等.
(3)利用三角形的内角和、平行线的性质、全等三角形及等腰三角形的性质等求角.
(4)利用勾股定理、相似三角形或三角函数等知识计算线段的长度.
2.等腰三角形旋转的应用过程
超级模型
基本图形
已知条件
等腰三角形ABC绕点C旋转得三角形ABC
辅助线作法
连接AA,BB(对应顶点)
可用结论
△ACA,△BCB都是等腰三角形(当C为等腰三角形ABC顶角的顶点时,△ACA≌△BCB)
理论依据
旋转的性质
例题详析
例
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专题四遇到求线段和差的最值怎么作辅助线
4.1将军饮马
知识储备
1.轴对称的知识
(1)轴对称的性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.
(2)轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
(3)对称轴的判定：①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
③对称轴是到线段两端距离相等的点的集合.
(4)线段的性质：两点之间，线段最短.
(5)线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条
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专题一遇到中点怎么作辅助线
1.1中点在等腰三角形的底边上
知识储备
1.等腰三角形的性质
(1)定义：两边相等.
(2)等边对等角：两底角相等.
(3)三线合一：顶角的平分线与底边上的中线、底边上的高相互重合.
(4)对称性：轴对称图形(顶角的平分线所在的直线是它的一条对称轴).
2.等边三角形
(1)三条边相等.
(2)三个内角都为(60°.
3.几类三角形间的关系
基本图形
已知条件
已知等腰三角形(三角形的两边相等)及其底边中点(第三边的中点)
含量辅助线作法
连接中点和顶角的顶点
可用结论
如图,AM⊥BC,AM平分∠BAC,BM=CM
理论依据
等腰三角形中“三线合一”
例题详析
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2中点辅助线.中位线(2014-2015).doc
知识点一 中点
一、与中点有关的概念
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半
斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形
二、与中点有关的辅助线
秘籍一：倍长中线
解读：凡
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2中点辅助线.中位线(2013-2014).doc
知识点一 中点
一、与中点有关的概念
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半
斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形
二、与中点有关的辅助线
秘籍一：倍长中线
解读：凡
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和中点有关辅助线作法例析.doc
与中点有关的辅助线作法例析
安徽省利辛县教育局督导室 夏 飞
线段的中点是几何图形中的一个特殊点．在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点，则是处理中点问题的关键．但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌握。下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法．
一、遇到中点找中点
这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题，主要是连接两个中点作中位线，并利用其性质．因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线．
例1：如图1，，E、F分别为BC、AD的中点，射线B