微专题7 与中点有关的辅助线作法.docx

微专题7与中点有关的辅助线作法

1.[2024北京通州区一模」如图，将线段AB绕点A逆时针旋转α(0°

(1)∠EDC=(用含α的代数式表示).

(2)连接BD,取BD的中点F,连接AF,EF,NF.

①依题意补全图形；

②若AF⊥EF,用等式表示线段NF与CE间的数量关系，并证明.

2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,D为边BC上一动点,点E在边AC上,CE=CD.点D关于点B的对称点为点F,连接AD,P为AD的中点,连接PE、PF,EF.

(1)如图1，当点D与点B重合时，直接写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系.

(2)如图2,当点D与点B,C不重合时,请问

(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

190°?

解析:(1)由旋转得∠A=α,AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=

∵CE=DE,∴∠EDC=∠DCE=∠ACB=9

(2)①补全图形如图.

②证明:延长AF至点M,使FM=AF,连接BM,DM,EM,AE,如图,

∵点F为线段BD的中点，点F为线段AM的中点，

∴四边形ABMD为平行四边形，

∴AB∥DM,AB=DM,

∴∠BAC+∠ADM=180°,

∴∠ADM=180°-α,

∵AF⊥EF,∴AE=ME,

∵AB=AC,

∴AC=DM,又∵EC=ED,∴△ACE≌△MDE(SSS),

∴∠MDE=∠ACE=180°-∠ACB=90°+1

∴∠ADM=∠MDE?∠CDE=90°

∴18

∴∠ECD=∠EDC=45°,

∴CD=

∵N为BC中点,F为BD中点,

∴NF是△BDC的中位线,

∴CD=2NF,∴CE=

2.(1)PE⊥PF;PF=3PE(2)成立;证明见解析

解析:(1)略.

(2)证明:如图,连接DE,延长CF至点H,使得FH=DC,连接AH,延长EP交AH于点Q,连接QF.

由已知条件和作图易证△AHC和△EDC为等边三角形，

∴∠H=∠C=∠EDC=60°,∴DE∥AQ,

∴∠AQP=∠DEP,∠QAP=∠EDP,

∵P为AD的中点,

∴AP=PD,

∴△AQP≌△DEP,

∴QP=EP,AQ=DE=EC=FH,

∴AH-AQ=CH-HF,∴QH=FC.

又∵∠H=∠C,∴△QHF≌△FCE.

∴FQ=FE,∠HQF=∠CFE.

∴∠QFE=180°-∠QFH-∠CFE=180°-∠QFH-∠HQF=∠H=60°,

∴△QFE为等边三角形，又∵QP=EP,

∴FP⊥PE,∠EFP=30°,

∴PF=