专题13 等腰三角形常见辅助线的作法（解析版）.pdf

专题13等腰三角形常见辅助线的作法（解析版）

类型一作底边中线（连接顶角顶点与底边中点）

1．（2023秋•万州区校级月考）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°；AC＝8，F是AB边上的中点，点

D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结

论：△DEF是等腰直角三角形，四边形CDFE保持面积不变，DF的长度处于最小值时，CD的

①②③

长为4；④S△CDE＝S△DEF；其中正确的结论是（）

A．①②③④B．①②C．①②④D．①②③

【分析】连接CF，如图，根据等腰直角△ABC的性质得CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠1＝45°，则可根

据“SAS”判断△ADF≌△CEF，得到DF＝EF，∠3＝∠2，由∠3+∠CFD＝90°可得∠CFD+∠2＝90°，

即∠DFE＝90°，所以△DEF为等腰直角三角形，于是可对①进行判断；利用S△ADF＝S△CEF可得四边

1

形CDFE的面积＝S△ACF=S△ABC＝16，于是可对②进行判断；当FD⊥AC时，FD的长度最小，此求得

2

CD；

11

==

当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FDAC＝4，于是得到CD长度的最小值AC＝4，所以③正

22

11

确；过C作CM⊥DE，过F作FN⊥DE，根据三角形的面积公式得到S△CDE=DE•CM，S△DEF=DE•

22

11

=

FN，根据等腰直角三角形的性质得到FNDE，而CM不一定等于DE，于是得到S△CDE与S△DEF不一

22

定相等，故④错误，

【解答】解：连接CF，如图，

∵△ABC为直角三角形，

∴∠A＝45°，

∵F是等腰直角△ABC斜边上的中点，

∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠1＝45°，

=

在△ADF和△CEF中，∠=∠1，

=

∴△ADF≌△CEF（SAS），

∴DF＝EF，∠3＝∠2

∵∠3+∠CFD＝90°，

∴∠2+∠CFD＝90°，即∠DFE＝90°，

∴△DEF为等腰直角三角形，所以正确；

①

∵△ADF≌△CEF，

∴S△ADF＝S△CEF，

111

∴四边形CDFE的面积＝S△ACF=S△ABC=××8×8＝16，所以②正确；

222

∵△DEF为等腰直角三角形，

1

=

当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FDAC＝4，