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复变函数期末试卷及答案(A卷)

一、选择题（每题3分，共15分）

1.复数\(z=1+2i\)的模长为（）。

A.1

B.2

C.3

D.\(\sqrt{5}\)

2.若\(f(z)\)在\(z_0\)处可导，则\(f(z)\)在\(z_0\)处连续，这是（）。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.函数\(f(z)=\frac{1}{z}\)在\(z=0\)处（）。

A.可导

B.不可导

C.连续

D.有界

4.函数\(f(z)=z^2\)在复平面上处处（）。

A.可导

B.不可导

C.连续

D.有界

5.函数\(f(z)=\sin(z)\)是（）。

A.整函数

B.亚纯函数

C.非整非亚纯函数

D.多值函数

二、填空题（每题4分，共20分）

6.复数\(z=3-4i\)的共轭复数为\(\_\_\_\_\_\_\)。

7.若\(f(z)\)在区域\(D\)上解析，则\(f(z)\)在\(D\)上满足柯西-黎曼方程，即\(\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}\)且\(\frac{\partialu}{\partialy}=-\frac{\partialv}{\partialx}\)，其中\(u\)和\(v\)分别是\(f(z)\)的实部和虚部。

8.函数\(f(z)=\frac{1}{z-1}\)在\(z=1\)处的留数为\(\_\_\_\_\_\_\)。

9.函数\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}\)的极点个数为\(\_\_\_\_\_\_\)。

10.函数\(f(z)=e^z\)的导数为\(\_\_\_\_\_\_\)。

三、计算题（每题10分，共30分）

11.计算复数\(z=2+3i\)的模长和辐角。

12.给定函数\(f(z)=\frac{z^2-1}{z^2+1}\)，求其在\(z=i\)处的留数。

13.证明函数\(f(z)=\frac{1}{z}\)在\(z=0\)处不解析，并求其在\(z=0\)处的留数。

四、解答题（每题15分，共30分）

14.证明函数\(f(z)=\sin(z)\)在复平面上处处解析，并求其在\(z=0\)处的泰勒级数展开。

15.给定函数\(f(z)=\frac{1}{z-2}\)，求其在\(z=2\)处的洛朗级数展开，并计算\(f(z)\)在\(z=2\)处的留数。

答案

一、选择题

1.D

2.C

3.B

4.A

5.A

二、填空题

6.\(3+4i\)

7.\(u\)和\(v\)

8.1

9.2

10.\(e^z\)

三、计算题

11.模长\(|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)，辐角\(\arg(z)=\arctan\left(\frac{3}{2}\right)\)。

12.留数\(\text{Res}(f,i)=\lim_{z\toi}(z-i)\frac{z^2-1}{z^2+1}=\lim_{z\toi}\frac{z^2-1}{z+i}=\frac{(i)^2-1}{i+i}=\frac{-1-1}{2i}=\frac{-2}{2i}=-\frac{1}{i}=i\)。

13.函数\(f(z)=\frac{1}{z}\)在\(z=0\)处不解析，因为其导数在\(z=0\)处不存在。留数\(\text{Res}(f,0)=1\)。

四、解答题

14.函数\(f(z)=\sin(z)\)在复平面上处处解析，因为其导数\(f(z)=\cos(z)\)存在且连续。泰勒级数展开为\(\sin(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n