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概率論与数理统计答案第四章.doc

发布:2016-12-01约4千字共18页下载文档
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第四章 大数定律与中心极限定理 4.1 设为退化分布: 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数? 解:(1)(2)不是;(3)是。 4.2 设分布函数如下定义: 问是分布函数吗? 解:不是。 4.3设分布函数列弱收敛于分布函数,且为连续函数,则在上一致收敛于。 证:对任意的,取充分大,使有 对上述取定的,因为在上一致连续,故可取它的分点:,使有,再令,则有 (1) 这时存在,使得当时有 (2) 成立,对任意的,必存在某个,使得,由(2)知当时有 (3) (4) 由(1),(3),(4)可得 , , 即有成立,结论得证。 4.5 设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与,证明这时必有。 证:对任意的有,故 即对任意的有成立,于是有 从而成立,结论得证。 4.6 设随机变量序列,分别依概率收敛于随机变量与,证明: (1);(2)。 证:(1)因为故 即成立。 (2)先证明这时必有。对任给的取足够大,使有成立,对取定的,存在,当时有成立这时有 从而有 由的任意性知,同理可证,由前述(1)有 故,结论成立。 4.7 设随机变量序列,是一个常数,且,证明。 证:不妨设对任意的,当时有, 因而。于是有 。 结论成立。 4.9 证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为: 证:充分性,令,,则,故是的单调上升函数,因而,于是有 对任意的成立,充分性得证。 必要性,对任给的,令,因为,故存在充分大的使得当时有,于是有 , 由的任意性知,结论为真。 4.10 设随机变量按分布收敛于随机变量,又数列,,证明也按分布收敛于。 证:先证明按分布收敛于。时为显然,不妨设(时的修改为显然),若,,,的分布函数分别记作,,与,则=,当是的连续点时,是的连续点,于是有 成立,结论为真。由4.12知,再由4.6(1)知,于是由前述结论及4.11知按分布收敛于,结论得证。 4.11设随机变量序列按分布收敛于随机变量,随机变量序列依概率收敛于常数,证明按分布收敛于。 证:记的分布函数分别为,则的分布函数为,设是的连续点,则对任给的,存在,使当时有 (1) 现任取,使得都是的连续点,这时存在,当时有 (2) (3) 对取定的,存在,当时有 (4) 于是当时,由(1),(2),(4)式有 又因为 于是由(1),(3),(4)式有 (6) 由(5),(6)两式可得 由的任意性即知按分布收敛于,结论得证。 4.12设随机变量序列按分布收敛于,随机变量序列依概率收敛于,证明 . 证:记的分布函数分别为,对任给的,取足够大,使是的连续点且 因为,故存在,当时有 令,因为,故存在,当时有 而 其中,当时有 因而,由的任意性知,结论为真。 4.13 设随机变量服从柯西分布,其密度函数为 证明。 证:对任意的,有 故。 4.14 设为一列独立同分布随机变量,其密度函数为 其中为常数,令,证明。 证:对任意的,为显然,这时有 对任意的,有 故成立,结论得证。 4.15 设为一列独立同分布随机变量,其密度函数为 令,证明。 证:设的分布函数为,有 这时有 对任意的,有 故成立,结论得证。 4.17设为一列独立同分布随机变量,都服从上的均匀分布,若,证明。 证:这时也是独立同分布随机变量序列,且 由辛钦大数定律知服从大数定理,即有,令,则是直线上的连续函数,由4.8题知 结论成立。 4.18设为一列独立同分布随机变量,每个随机变量的期望为,且方差存在,证明。 证:已知,记,令,则 对任给的,由契贝晓夫不等式有 故,结论得证。 4.19设为一列独立同分布随机变量,且存在,数学期望为零,证明。 证:这时仍独立同分布,且,由辛钦大数定律知结论成立。 4.21 设随机变量序列按分布收敛于随机变量,又随机变量序列依概率收敛于常数,则按分布收敛于。 证:由4.7题知,于是由4.12题有,而按分布收敛于(见4.10题的证明),因而由4.11题知 按分
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