高数学选修、函数的单调性与导数.PPT

3．3　导数在研究函数中的应用 1．知识与技能 结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系． 2．过程与方法 能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性． 本节难点：函数的导数与单调性的关系． 1．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想、方法进行归纳总结，提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的目的． 2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间． 1．利用导数判断单调性，是比较好的解题思路其一般步骤：(1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0或f′(x)0；(3)据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间． 2．单调区间为函数定义域的子集，求解时首先考虑定义域． 3．要注意单调区间的写法，特别是不连续点或不可导点． 4．y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增． 5．利用导数判断单调性常与一些参数有关，此时要注意对参数的分类讨论． 1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f′(x)≥0，则f(x)在此区间是 的； (2)如果在区间(a，b)内，f′(x)≤0，则f(x)在此区间内是 的． 2．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x在某区间上，总有f′(x)＜0，则f(x)在这个区间为 ． [例1]　求下列函数的单调区间 (1)f(x)＝x3－3x＋1 [解析]　(1)函数f(x)的定义域为R f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1) (2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) [点评]　求函数的单调区间必须在函数的定义域内，依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性．另外，单调区间不可写成并集的形式． 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3＋3x2－9x (2)f(x)＝sinx－x，x∈(0，π) [解析]　(1)f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x2＋2x－3)， 由f′(x)＞0得，x1或x－3， ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)、(1，＋∞)． 由f′(x)＜0得，－3x1， ∴函数f(x)的单调递减区间为(－3,1)． (2)f′(x)＝cosx－1，∵x∈(0，π)时， ∴cosx∈(－1,1)，∴cosx－1＜0， ∴函数f(x)在(0，π)上是单调递减函数. [例2]　已知x＞1，求证x＞lnx. [解析]　设f(x)＝x－lnx　(x＞1) ∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 又f(1)＝1－ln1＝1＞0 即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立 ∴x－lnx＞0，即x＞lnx　(x＞1)． [点评]　构造函数是解本题的突破口，构造函数，利用导数确定函数单调性，这种不等式证明方法经常使用，它是作差法的一个延伸． 已知：x＞0，求证：x＞sinx. [解析]　设f(x)＝x－sinx　(x＞0) f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立 ∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数 又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立 即：x＞sinx　(x＞0)． [解析]　解法一：(区间法) f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1. 当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意． 当a－11，即a2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)， 所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7. 解法二：(数形结合) 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另