第四章43平面向量的数量及平面向量的应用举例.ppt

备选例题(教师用书独具) 例 (2012·宝鸡调研)已知A＝(Cos α，sin α)，B＝(Cos β，sin β)(0αβπ)． (1)求证：A＋B与A－B互相垂直； (2)若kA＋B与A－kB的模相等， 求β－α.(其中k为非零实数) 【解】　证明：(1)∵(A＋B)·(A－B)＝A2－B2＝|A|2－|B|2 ＝(Cos2α＋sin2α)－(Cos2β＋sin2β)＝0， ∴A＋B与A－B互相垂直． 变式训练 平面向量的应用 例3 【解】　 (1)法一：B＋C＝(Cosβ－1，sinβ)，则 |B＋C|2＝(Cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－Cosβ)． ∵－1≤Cosβ≤1，∴0≤|B＋C|2≤4， 即0≤|B＋C|≤2. 当Cosβ＝－1时，有|B＋C|＝2， ∴向量B＋C的长度的最大值为2. 法二： ∵|B|＝1，|C|＝1，|B＋C|≤|B|＋|C|＝2. 当Cosβ＝－1时，有B＋C＝(－2,0)，即|B＋C|＝2， 所以向量B＋C的长度的最大值为2. (2)法一：由已知可得B＋C＝(Cosβ－1，sinβ)，A·(B＋C) ＝Cos αCosβ＋sin αsinβ－Cosα ＝Cos(α－β)－Cos α. ∵A⊥(B＋C)，∴A· (B＋C)＝0， 即Cos(α－β)＝Cos α. ∵A⊥(B＋C)，∴A·(B＋C)＝0，即Cosβ＋sinβ＝1. ∴sinβ＝1－Cosβ，平方后化简得Cosβ(Cosβ－1)＝0， 解得Cosβ＝0或Cosβ＝1.经检验，Cosβ＝0或Cosβ＝1即为所求． 【名师点评】　 一般来说向量与三角融合时，都会给出向量的坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向量的坐标运算公式必须要记住且要会使用．涉及向量平行或垂直时，两个坐标关系式也要会熟练地应用． 备选例题(教师用书独具) 例 方法技巧 方法感悟 1．向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(λa＋μb)·(s a＋tb)＝λs a2＋(λt＋μs)a·b＋μtb2(λ，μ，s，t∈R)． 2．求向量模的常用方法：利用公式|A|2＝A2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧． 4．平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化得以实施． 因此，一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决相关问题． 失误防范 1．零向量：(1)0与实数0的区别，不可写错：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·00≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，也与任一向量垂直． 2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b. 3．a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立． 考向瞭望把脉高考 命题预测 平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一，考查重点是向量的数量积运算，向量的垂直以及用向量方法解决简单的几何问题等，既有选择题，填空题，又有解答题，属中低档题目．近几年试题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题的综合题是高考的一个热点，主要考查运算能力和数形结合思想． 预测2013年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直为主要考点，以与三角、平面几何、解析几何的交汇命题为考向． 典例透析 例 【解】 A·B＝B·C，A·B＝C·A，两式相加得 2A·B＝C(A＋B).2分 又A＋B＋C＝0，故有(A＋B)2＋2A·B＝0， 即A2＋B2＋4 A·B＝0.5分 由已知A·B＝－1，∴|A|2＋|B|2＝4. 同理|B|2＋|C|2＝4，|C|2＋|A|2＝4，8分 【得分技巧】　根据已知条件，从探求三角形的三边长入手判断其形状是解答本题的关键． 【失分溯源】　在解答本题时主要是错用数量积的运算律及性质导致失分： 如由a·b＝b·c约去B得到a＝c；由a·b＝b·c＝c·a＝－1得到|a||b|＝|b||c|＝|c||a|＝1，从而|a|＝|b|＝|c|＝1. 知能演练轻松闯关 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 栏目导引 教材回扣 夯实双基 考点探究 讲练互动 知能演练 轻松闯关 考向瞭望 把脉高考 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 §4.3　平面向量的数量积及平面向量的应用举例 教材回扣夯实双基 基础梳理 1．两个向量的夹角 (1)夹角的定义 定义 范围 已知两个_______向量A，B， 作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝θ叫