第四章第节平面向量的数量积及平面向量应用举例.doc

PAGE PAGE 1 第四节 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例 题组一 平面向量的数量积及向量的模 1.(2010·四平模拟)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为 (　　) A．－2 B.eq \r(2)－2 C．－1 D．1－eq \r(2) 解析：(a－c)·(b－c)＝a·b－c·(a＋b)＋c2 ＝0－|c|·|a＋b|·cos〈c，(a＋b)〉＋1 ≥0－| c ||a＋b|＋1＝－ SKIPIF 1 0 ＋1 ＝－ SKIPIF 1 0 ＋1＝－ SKIPIF 1 0 ＋1 ＝－eq \r(2)＋1. 答案：D 2．(2009·广东高考)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的 大小为 (　　) A．2eq \r(7) B．2eq \r(5) C．2 D．6 解析：由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)． SKIPIF 1 0 ＝ SKIPIF 1 0 ＋ SKIPIF 1 0 ＋2F1F2＝ SKIPIF 1 0 ＋ SKIPIF 1 0 ＋2|F1||F2|cos60°＝28. ∴|F3|＝2eq \r(7). 答案：A 3．(2009·福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于 (　　) A．以a，b为两边的三角形的面积 B．以b，c为两边的三角形的面积 C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D．以b，c为邻边的平行四边形的面积 解析：设〈a，b〉＝θ，θ∈(0，π)， ∵〈a，c〉＝eq \f(π,2)，∴〈b，c〉＝eq \f(3π,2)－θ， 以a，b为邻边的平行四边形面积为 |a||b|sinθ，而|b·c|＝ SKIPIF 1 0 ＝|b||c|sinθ， 又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a||b|sinθ. 答案：C 题组二 两向量的夹角问题 4.(2009·全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 解析：(a＋b)2＝c2，a·b＝－eq \f(c2,2)，cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，〈a，b〉＝120°. 答案：B 5．在△ABC中， SKIPIF 1 0 · SKIPIF 1 0 ＝3，△ABC的面积S∈[eq \f(\r(3),2)，eq \f(3,2)]，则 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 夹角的取值范围是 (　　) A．[eq \f(π,4)，eq \f(π,3)] B．[eq \f(π,6)，eq \f(π,4)] C．[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)] D．[eq \f(π,3)，eq \f(π,2)] 解析：设〈 SKIPIF 1 0 · SKIPIF 1 0 〉＝θ，由 SKIPIF 1 0 · SKIPIF 1 0 ＝| SKIPIF 1 0 || SKIPIF 1 0 |cosθ＝3，得| SKIPIF 1 0 || SKIPIF 1 0 |＝eq \f(3,cosθ)， ∴S＝eq \f(1,2)| SKIPIF 1 0 || SKIPIF 1 0 |sinθ＝eq \f(1,2)×eq \f(3,cosθ)×sinθ＝eq \f(3,2)tanθ. 由eq \f(\r(3),2)≤eq \f(3,2)tanθ≤eq \f(