国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第45届）.doc

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第45届） 1． △ABC 为锐角三角形，AB ≠ AC；以BC为直径的圆分别交AB和AC于M 和N ． 记BC中点为O． ∠BAC和∠MON的角平分线交于R． 求证△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个公共点在BC边上． 2． 求所有的实系数多项式f，使得对所有满足 ab + bc + ca = 0的实数a， b， c 有 f(a–b) + f(b–c) + f(c–a) = 2f(a + b + c)． 3． 定义一个由6个单位正方形构成的“钩”（图传不上：3 X 3 的去掉中心块和一边上连 续的两块，包括由此图经旋转、反射得到的图形）． 定出所有的能被钩覆盖的m×n的矩形． 4． n ≥ 3． t_1， t_2，， t_n 0 n^2 + 1 (t_1 + t_2 + … + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + … + 1/t_n) 证明t_1， t_2， ， t_n3个数都能构成一个三角形． 6． 称一个正整数为“交替的”，如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶性不同． 求所有的正整数n，n的某个倍数是交替的． 彰显数学魅力！演绎网站传奇！ 学数学 用专页 第 1 页 共 2 页 搜资源 上网站