国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第13届）.doc

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第13届） 1.?令 En = (a1 - a2)(a1 - a3) ... (a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an) + ... + (an - a1)(an - a2) ... (an - an-1). 求证? En = 0 对于n=3或5成立，而对于其他自然数n2不成立． 2.? 凸多边形 P1 的顶点是 A1， A2， ... ， A9，若将顶点 A1 平移至Ai 时则 P1 平移成了多边形 Pi ，求证 P1， P2， ... ， P9 之中至少有两个具有一共同内点． 3.? 求证能够找到一个由形式 2n - 3 （n是正整数）的整数构成的集合并满足任何两个元素互质． 4.?四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T．求证： 如果 ∠DAB+∠BCD ≠ ∠CDA+∠ABC，则没有一条闭路径XYZTX具有最小值； 如果 ∠DAB+∠BCD ＝ ∠CDA+∠ABC，则有无穷多最短路径XYZTX，它们的长度是 2AC sin(k/2)，其中 k=∠BAC+∠CAD+∠DAB． 5.? 对任何自然数 m ，求证存在平面上一有限点集 S，满足：对S中的每一个点 A，存在S中的恰好 m 个点与 A的距离为单位长． 6.? 设 A = (aij)，其中 i， j = 1， 2， ... ， n，是一个方阵，元素 aij 都是非负整数．若 i、j使得aij = 0，则第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n．求证：该方阵中所有元素之和 大于或等于n2/2． 彰显数学魅力！演绎网站传奇！ 学数学 用专页 第 1 页 共 1 页 搜资源 上网站