国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第7届）.doc

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第7届） 1.? 试找出所有位于区间[0， 2pi] 的x使其满足 ? ? ? ? 2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) - √(1 - sin 2x)| ≤. 2.? 如下方程组的系数 aij ， ???????? a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0 ???????? a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0 ???????? a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0 满足： ?a11、 a22、 a33 是正数，其余是负数； 每个方程中的系数之和是正的． 求证：该方程组的有唯一的解 x1 = x2 = x3 = 0． 3.? 四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的 k倍．试求出 这两部分的体积比． 4.? 四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个数的所有可能值． 5.? 三角形OAB中的角O是锐角，M是边AB上任意一点，从M向OA、OB边引垂线，垂足分别为P、Q．设三角形OPQ的垂心为，求出当M在AB边上移动时点H的轨迹；若M在三角形OAB内部移动是H的轨迹又是什么？ 6.? 平面上给定了 n2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条． 彰显数学魅力！演绎网站传奇！ 学数学 用专页 第 1 页 共 1 页 搜资源 上网站